Aljabar abstrak

Teori grupSunting

Definisi dasasrSunting

Definisi: Misalkan   himpunan tidak kosong.

  • Operasi biner pada   adalah pemetaan  . Notasi:   untuk  .
  • Suatu himpuan   yang dilengkapi operasi biner   disebut grupoid. Notasi:  

Contoh:

  1.   dan  .
  2.   dan  , di mana   atau  .

Definisi: Suatu grupoid   disebut grup jika ia memenuhi hukum-hukum berikut:

  • (G1)   unuk semua  . (Hukum assotiatif)
  • (G2) Terdapat suatu anggota   sehingga   untuk semua  . (  disebut anggota identitas)
  • (G3) Terdapat suatu anggota identitas   sehingga: untuk setiap   terdapat suatu   sehingga  . (Hukum invers, Notasi  )

Suatu grup   adalah grup Abelian (atua grup komutatif) jika itu memnuhi jugaasi

  • (G4)   untuk semua  . (Hukum komutatif)

CatatanSunting

Untuk mendefinisikan grup kita dapat menganti (G2) dan (G3) dengan (G2)' dan (G3)' berikut:

  • (G2)' Terdapat suatu anggota   sehingga   untuk semua  . (  disebut anggota identitas kanan)
  • (G3)' Terdapat suatu anggota identitas kanan   sehingga: untuk setiap   terdapat suatu   sehingga  . (Hukum invers kanan)

Kita membuktikan fakta di atas sebagai Lemma 1, Lemma 2 dan Lemma 3.

Lemma 1: Misalkan   memenuhu (G1) , (G2)' dan (G3)' dengan anggota identitas kanan   dari (G3)' . Jika   memenuhi   maka  .

Bukti: Dengan (G3)' terdapat   sehingga  . Akibatnya dengan (G1) dan (G2)'

 . □

Lemma 2: Misalkan   memenuhu (G1) , (G2)' dan (G3)' dengan anggota identitas kanan   dari (G3)' . Maka   untuk semua  .

Bukti: Misalkan  . Dengan (G3)' terdapat   sehingga  . Dengan menggunakan Lemma 1 juga  . Oleh karena itu dengan (G1) dan (G2)'

 

Lemma 3: Misalkan   memenuhu (G1) , (G2)' dan (G3)' . Jika terdapat hanya satu anggota identitas.

Bukti: Misalkan   dari (G3)' dan   juga suatu anggota identitas. Karena   untuk semua   dengan (G2)' maka  . Dengan Lemma 2 untuk   didapat juga  . Oleh karena itu  . □

Sifat-SifatSunting

Teorema (Sifat kanselasi): Misalkan  .

  1. Jika   maka  .
  2. Jika   maka  .

Bukti: Dengan (G3) terdapat   sehingga  . Oleh karena itu jika   maka dengan (G1)

 

Jika   maka dengan (G1) dan (G2)

 

Teorema  .

Bukti:   dari Definisi   yang berarti bahwa   elemen invers untuk  . □

Grup bagianSunting

Definisi: Misalkan   grup. Suatu himpunan bagian   disebut grup bagian (persisnya   grup bagian  ), jika ia memenuhi sifat-sifat berikut:

  1.  .
  2. Jika   maka  .
  3. Jika   maka  .

Teorema: Misalkan   grup dan   himpuan bagian tidak kosong.   grup bagian jika dan hanya jika   untuk semua  .

Bukti: Misalkan   grup bagian dan  . Dari 3 Definisi di atas   dan dari 2 juga  . Sebaliknya misalkan   untuk semua  . Kita memeriksa Definisi 1, 2 dan 3. Karena   tidak kosong, ada  . 1 benar karena  . 3 benar karena  . 2 juga benar karena  .□