Fisika itu mudah/Gerak partikel bermuatan dalam medan magnet homogen tegak lurus

Gerak partikel bermuatan dalam medan magnet homogen tegak lurus umumnya dipahami dengan istilah memisalkan terdapatnya gaya sentripetal yang membuat partikel bergerak menempuh lintasan berupa lingkaran. Hal yang umumnya kurang diekspos adalah dari mana datangnya gaya yang berperan sebagai sentripetal ini.

Gaya-gaya yang berperan

Untuk mulai memahami hal ini titik awal yang baik adalah dimulai dari rumus gaya magnetik atau bentuk khusus dari hukum Lorentz, di mana dalam ruang hanya terdapat medan listrik , yaitu:

${\vec {F}}_{m}=q{\vec {v}}\times {\vec {B}}$

di mana $\!F_{m}$ gaya magnetik $\!q$ adalah muatan magnetik dan $\!B$ terdapat medan magnetik homogen. Untuk kasus yang akan dijelaskan dalam artikel ini diambil arah medan magnetik tegak lurus dengan arah gerak partikel

${\vec {B}}=B_{z}{\hat {k}}$

dengan pemisalan keadaan gerak mula-mula partikel adalah:

${\vec {v}}_{0}=v_{0}(\cos \theta _{0}\ {\hat {i}}+sin\theta _{0}\ {\hat {j}})$

Dengan mengabaikan gaya berat $\!w$ atau dapat diterapkan gaya listrik $\!F_{l}$ yang besarnya sama dengan gaya berat akan tetapi dengan arah yang berlawanan

${\vec {F}}_{l}=q{\vec {E}}$

di mana

${\vec {E}}={\frac {mg}{q}}\ {\hat {k}}$

dengan

${\vec {w}}=-mg\ {\hat {k}}$

sebagai gaya beratnya.

Persamaan gerak partikel

Dengan menerapkan hukum gerak Newton yang mengaitkan gaya-gaya yang berperan dengan keadaan geraknya

$\sum {\vec {F}}=m{\vec {a}}$

dapat dituliskan persamaan gerak partikel dan diselesaikan

${\vec {F_{m}}}+{\vec {F}}_{l}+{\vec {w}}=m{\vec {a}}$

$q{\vec {v}}\times {\vec {B}}+q{\vec {E}}+{\vec {w}}=m{\vec {a}}$

$q(v_{x}{\hat {i}}+v_{y}{\hat {j}})\times B_{z}\ {\hat {k}}+q{\frac {mg}{q}}\ {\hat {k}}-mg\ {\hat {k}}=m{\vec {a}}$

$qB_{z}(v_{y}{\hat {i}}-v_{x}{\hat {j}})=m{\vec {a}}$

di mana telah dimisalkan kecepatan pada suatu saat

${\vec {v}}=(v_{x}{\hat {i}}+v_{y}{\hat {j}})$

Sekarang terdapat dua persamaan diferensial tergandeng orde satu yang harus diselesaikan , yaitu

${\frac {dv_{x}}{dt}}={\frac {qB_{z}}{m}}\ v_{y}$

${\frac {dv_{y}}{dt}}=-{\frac {qB_{z}}{m}}\ v_{x}$

dengan menguraikan ${\vec {a}}=(a_{x}{\hat {i}}+a_{y}{\hat {j}})$ sebagai komponen-komponen percepatan. Perhatikan bahwa dalam arah $\!z$ tidak perlu dilakukan karena tidak terdapat komponen dalam arah tersebut. Selanjutnya kedua persamaan diturunkan lagi terhadap waktu dan saling disubstitusikan sehingga diperoleh

${\frac {d^{2}}{dt^{2}}}{\begin{bmatrix}v_{x}\\v_{y}\end{bmatrix}}=-\left({\frac {qB_{z}}{m}}\right)^{2}{\begin{bmatrix}v_{x}\\v_{y}\end{bmatrix}}$

yang memberikan solusi

$v_{x}=v\sin(\omega \ t)$

$v_{y}=v\cos(\omega \ t)$

dengan

$\omega ={\frac {qB_{z}}{m}}$

atau dituliskan dalam bentuk yang lebih kompak

${\vec {v}}(t)=v\left\{\sin(\omega \ t)\ {\hat {i}}+\cos(\omega \ t)\ {\hat {j}}\right\}$

Kinematika partikel

Besaran kinematika partikel lainnya dapat diperoleh melakukan integrasi untuk memperoleh posisi setiap saat dan diferensiasi untuk mendapatkan percepatan linier setiap saat, yaitu

${\vec {r}}(t)={\frac {v}{\omega }}\left\{-\cos(\omega \ t)\ {\hat {i}}+\sin(\omega \ t)\ {\hat {j}}\right\}+{\vec {r}}_{0}$

dan

${\vec {a}}(t)=v\omega \left\{\cos(\omega \ t)\ {\hat {i}}-\sin(\omega \ t)\ {\hat {j}}\right\}$

Lintasan partikel dan arah percepatan

Dengan menggunakan persamaan posisi, yang sudah merupakan persamaan parametrik gerak melingkar, dapat digambarkan lintasan partikel. Demikian pula dengan arah percepatan setiap saatnya. Untuk jelasnya perhatikan nilai-nilai pada tabel berikut ini.