Kalkulus/Aljabar: Perbedaan antara revisi

21 bita ditambahkan ,  9 tahun yang lalu
k
Bot: Penggantian teks otomatis (-diantara +di antara); kosmetik perubahan
k (Bot: Penggantian teks otomatis (-diantara +di antara); kosmetik perubahan)
=== Penjumlahan ===
* Sifat komutatif: <math>a+b=b+a \,</math>.
* Sifat asosiatif: <math>(a+b)+c=a+(b+c)\,</math>.
* Identitas penjumlahan: <math>a+0=a\,</math>.
* Invers penjumlahan: <math>a+(-a)=0\,</math>.
 
=== Pengurangan ===
* Definisi: <math>a-b = a+(-b)\,</math>.
 
=== Perkalian ===
* Sifat komutatif: <math>a\times b=b\times a\,</math>.
* Sifat asosiatif: <math>(a\times b)\times c=a\times (b\times c)\,</math>.
* Identitas perkalian: <math>a\times 1=a\,</math>.
* Invers perkalian: <math>a\times \frac{1}{a}=1</math>, <math>a \neq 0\,</math>
* Sifat distributif: <math>a\times (b+c)=(a\times b)+(a\times c)\,</math>.
 
=== Pembagian ===
* Definisi: <math>\frac{a}{b}=a\times \frac{1}{b}</math>, <math>b \neq 0\,</math>.
 
Coba lihat contoh dibawah ini untuk melihat bagaimana aturan-aturan diatas dipraktekkan.
Tentu saja, cara diatas jauh lebih panjang daripada hanya mencoret <math>x+3</math> dari pembilang dan penyebut. Tapi, dengan mencoret, sebenarnya kamu juga melakukan tahapan diatas, hanya saja lebih dipersingkat. Dengan tahapan diatas, diharapkan kamu benar-benar memahami aturan-aturan yang ada.
 
== Notasi interval ==
Ada beberapa sedikit perbedaan simbol yang dapat digunakan untuk menyatakan suatu interval (semua angka yang berada diantaradi antara 2 angka) spesifik tertentu. Salah satu caranya adalah dengan menggunakan pertidaksamaan. Jika kita ingin menyatakan semua angka yang berada diantaradi antara, katakan, 2 dan 4, maka kita dapat menuliskannya "semua ''x'' yang memenuhi ''2<x<4''". Tanda ini menunjukkan bahwa titik 2 dan 4 tidak termasuk karena kita menggunakan tanda <math> \leq </math>. Jika kita ingin memasukkan titik 2 dan 4 juga, maka kita menuliskannya dengan "semua ''x'' yang memenuhi <math>2 \leq x \leq 4 </math>".
 
Cara lain yang dapat digunakan untuk menuliskan interval ini adalah dengan menggunakan notasi interval. Jika kita ingin menuliskan "semua ''x'' yang memenuhi 2<x<4" maka kita dapat menuliskannya dengan (2,4). Dengan notasi ini, titik 2 dan 4 tidak termasuk dalam interval. Jika kita mau memasukkan titik 2 dan 4 juga, maka penulisannya menjadi [2,4]. Jika kita hanya ingin memasukkan titik 2 saja tanpa titik 4 ke dalam interval, maka penulisannya menjadi [2,4); jika hanya titik 4 saja tanpa titik 2, penulisannya menjadi (2,4].
Kita dapat menggunakan lambang <math>\in</math> untuk menunjukkan apakah sebuah elemen termasuk di dalam interval. Contohnya, <math>2\in[1,3]</math>. Sedangkan, simbol <math>\notin</math> digunakan apabila sebuah elemen tidak termasuk dalam interval. Sebagai contoh <math>0\notin(0,1)</math>.
 
== Eksponen dan radikal ==
Ada beberapa aturan dalam eksponen dan radikal yang harus selalu anda ingat. Sebagai definisinya, jika '''n''' merupakan angka bulat positif maka <math> a^n </math> menyatakan ''n'' faktor dari ''a''. Maka:
<center> <math> a^n = a\cdot a \cdot a \cdots a \qquad (n~ \mbox{kali}). </math> </center>
</center>
 
== Faktor dan akar faktor ==
Jika kita mempunyai pernyataan <math> x^2 + 3x + 2 </math>, maka mungkin muncul pertanyaan "berapa nilai ''x'' yang membuat pernyataan ini bernilai nol?". Jika kita memfaktorkannya maka kita akan mendapatkan:
<center><math> x^2 + 3x + 2 = (x + 2)(x + 1). \,\! </math></center>
 
Jika ''x''=-1 atau -2, maka salah satu factor di sebelah kanan akan menjadi nol. Maka, nilai pernyataan tersebut pasti akan menjadi nol juga. Maka, dengan memfaktorkan kita dapat menemukan nilai ''x'' yang menjadikan penyataan tersebut bernilai nol. Nilai -1 dan -2 inilah yang disebut dengan "akar faktor". Secara umum, jika ada suatu polinomial kuadrat <math> px^2 + qx + r </math> dengan faktor-faktornya
<center><math> px^2 + qx + r = (ax + c)(bx + d) \,\!</math></center>
 
<center><math> 4x^2 - 9 = (2x+3)(2x-3). \,\!</math></center>
 
'''Rumus abc'''<br />
Akar-akar dari persamaan kuadrat <math>ax^2+bx+c=0, a\neq0</math> dapat dicari dengan rumus ABC, yaitu:</br>
<math>x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math>.
Jawaban:
Dengan menggunakan rumus abc:<math>a=4, b=7, c=-2</math>, maka:</br>
<math>x=\frac{-7\pm\sqrt{7^2-4(4)(-2)}}{2(4)}</math><br />
 
<math>x=\frac{-7\pm\sqrt{49+32}}{8}</math><br />
 
<math>x=\frac{-7\pm\sqrt{81}}{8}</math><br />
 
<math>x=\frac{-7\pm9}{8}</math><br />
 
<math>x=\frac{2}{8}, x=\frac{-16}{8}</math><br />
 
<math>x=\frac{1}{4}, x=-2</math>
 
== Menyederhanakan pernyataan rasional ==
Anggaplah ada 2 polinomial:
<center><math>p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 </math></center> dan
<center><math>\frac{p(x)}{q(x)} = \frac{a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0}{b_m x^m + b_{m-1}x^{m-1} + \cdots + b_1x + b_0}. </math></center>
 
Rasio dari 2 polinomial tersebut disebut dengan '''ekspresi rasional'''. Banyak diantaranyadi antaranya kita dapat menyederhanakannya, seperti misalnya <math>\frac{x^2-1}{x+1}. </math>. Kita dapat menyederhanakannya menjadi:
<center><math>\frac{x^2-1}{x+1} = \frac{(x+1)(x-1)}{x+1} = x-1, \qquad x \neq -1 \,\!</math></center>
 
== Beberapa rumus perkalian polinomial ==
Berikut ini adalah beberapa rumus perkalian polinomial yang (mungkin) harus anda ketahui untuk menyelesaikan polinomial:
 
<center><math>a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)</math></center>
 
== Pembagian polinomial ==
Jika kita ingin membagi polinomial satu dengan polinomial lainnya, maka kita dapat menggunakan pembagian bersusun.
 
305

suntingan