OSN Sekolah Menengah Atas

contoh soal

1. Berapa hasil dari ${\sqrt {2015\cdot 2017\cdot 2023\cdot 2025+64}}$?

Jawaban

$${\begin{aligned}{\text{Misalkan 2020 = p}}\\{\sqrt {2015\cdot 2017\cdot 2023\cdot 2025+64}}&={\sqrt {(2020-5)\cdot (2020-3)\cdot (2020+3)\cdot (2020+5)+64}}\\&={\sqrt {(p-5)\cdot (p-3)\cdot (p+3)\cdot (p+5)+64}}\\&={\sqrt {(p-5)\cdot (p+5)\cdot (p-3)\cdot (p+3)+64}}\\&={\sqrt {(p^{2}-25)\cdot (p^{2}-9)+64}}\\&={\sqrt {p^{4}-34p^{2}+225+64}}\\&={\sqrt {p^{4}-34p^{2}+289}}\\&={\sqrt {(p^{2}-17)^{2}}}\\&=p^{2}-17\\&=2020^{2}-17\\&=(2000+20)^{2}-17\\&=4.000.000+80.000+400-17\\&=4.080.383\\\end{aligned}}$$

1. Berapa angka satuan dari hasil 17²⁰²⁴?

Jawaban

$${\begin{aligned}{\text{Perhatikan angka satuannya}}\\17^{1}&=7\\17^{2}&=9\\17^{3}&=3\\17^{4}&=1\\17^{5}&=7\\17^{6}&=9\\17^{7}&=3\\17^{8}&=1\\{\text{Ini berarti berulang sebanyak 4 kali. Jadi 2024 dibagi 4 bersisa 0 maka angka satuannya yaitu 1}}\end{aligned}}$$

1. Berapa angka satuan dari hasil 1! + 2! + 3! + 4! + …. + 2024!?

Jawaban

$${\begin{aligned}{\text{Perhatikan }}\\1!+2!+3!+4!+\dots +2024!&=1+(1x2)+(1x2x3)+(1x2x3x4)+\dots +2024!\\&=1+2+6+24+120+720+\dots +2024!\\{\text{Karena perkalian dikalikan 4,5,6, dst pasti angka satuan nya 0 maka }}1+2+6+24=33{\text{ jadi angka satuannya adalah }}3\end{aligned}}$$

1. Berapa hasil sisa jika 1! + 2! + 3! + 4! + ….. + 2024! dibagi 12?

Jawaban

$${\begin{aligned}{\text{Perhatikan}}\\{\frac {1!+2!+3!+4!+\dots +2024!}{12}}&={\frac {1+1x2+1x2x3+1x2x3x4+\dots +2024!}{12}}\\&={\frac {1+2+6+24+\dots +2024!}{12}}\\{\text{karena 4! + 5! + …. + 2024! dapat habis dibagi 12 yang berasal dari 3x4 jadi }}1+2+6=9\end{aligned}}$$

1. Berapakah nilai dari $16^{a}=256^{b}=625^{c}=40$ jika ${\frac {20abc}{ab+bc+ac}}$?

Jawaban

$${\begin{aligned}16^{a}=256^{b}=625^{c}&=40\\2^{4a}=4^{4b}=5^{4c}&=40\\2^{4a}&=40\\2&=40^{\frac {1}{4a}}\\4^{4b}&=40\\4&=40^{\frac {1}{4b}}\\5^{4c}&=40\\5&=40^{\frac {1}{4c}}\\2\cdot 4\cdot 5&=40^{\frac {1}{4a}}\cdot 40^{\frac {1}{4b}}\cdot 40^{\frac {1}{4c}}\\40&=40^{\frac {1}{4a}}\cdot 40^{\frac {1}{4b}}\cdot 40^{\frac {1}{4c}}\\40&=40^{{\frac {1}{4a}}+{\frac {1}{4b}}+{\frac {1}{4c}}}\\1&={\frac {1}{4a}}+{\frac {1}{4b}}+{\frac {1}{4c}}\\4&={\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}\\{\frac {20abc}{ab+bc+ac}}&=20\cdot {\frac {abc}{ab+bc+ac}}\\&=20\cdot ({\frac {ab+bc+ac}{abc}})^{-1}\\&=20\cdot ({\frac {1}{c}}+{\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}})^{-1}\\&=20\cdot ({\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}})^{-1}\\&=20\cdot (4)^{-1}\\&=20\cdot {\frac {1}{4}}\\&=5\\\end{aligned}}$$

1. Berapakah nilai dari $x^{3}+{\frac {8}{x^{3}}}$ jika $x+{\frac {2}{x}}=4$?

Jawaban

$${\begin{aligned}x+{\frac {2}{x}}&=4\\(x+{\frac {2}{x}})^{3}&=4^{3}\\x^{3}+6(x+{\frac {2}{x}})+{\frac {8}{x^{3}}}&=64\\x^{3}+6(4)+{\frac {8}{x^{3}}}&=64\\x^{3}+24+{\frac {8}{x^{3}}}&=64\\x^{3}+{\frac {8}{x^{3}}}&=40\\\end{aligned}}$$

1. Berapakah nilai dari $4x+{\frac {25}{x}}$ jika $2{\sqrt {x}}+{\frac {5}{\sqrt {x}}}=4x-{\frac {25}{x}}$?

Jawaban

$${\begin{aligned}2{\sqrt {x}}+{\frac {5}{\sqrt {x}}}&=4x-{\frac {25}{x}}\\2{\sqrt {x}}+{\frac {5}{\sqrt {x}}}&=(2{\sqrt {x}}+{\frac {5}{\sqrt {x}}})(2{\sqrt {x}}-{\frac {5}{\sqrt {x}}})\\1&=2{\sqrt {x}}-{\frac {5}{\sqrt {x}}}\\1^{2}&=(2{\sqrt {x}}-{\frac {5}{\sqrt {x}}})^{2}\\1&=4x-20+{\frac {25}{x}}\\4x+{\frac {25}{x}}&=21\\\end{aligned}}$$

1. Berapakah nilai dari ${\frac {7^{2025}-7^{2023}+432}{7^{2024}+7^{2023}+72}}$?

Jawaban

$${\begin{aligned}{\frac {7^{2025}-7^{2023}+432}{7^{2024}+7^{2023}+72}}&={\frac {7^{2023}7^{2}-7^{2023}+48\times 9}{7^{2023}7^{1}+7^{2023}+8\times 9}}\\&={\frac {7^{2023}(7^{2}-1)+48\times 9}{7^{2023}(7^{1}+1)+8\times 9}}\\&={\frac {7^{2023}(49-1)+48\times 9}{7^{2023}(7+1)+8\times 9}}\\&={\frac {7^{2023}\times 48+48\times 9}{7^{2023}\times 8+8\times 9}}\\&={\frac {48(7^{2023}+9)}{8(7^{2023}+9)}}\\&={\frac {48}{8}}\\&=6\\\end{aligned}}$$

1. Diberikan fungsi kuadrat f(x)=ax²+bx+c yang memenuhi f(2) = 4 dan f(7) = 49. Jika a ≠ 1 maka berapa nilai dari ${\frac {c-b}{a-1}}$?

Jawaban

$${\begin{aligned}f(x)&=ax^{2}+bx+c\\f(2)&=a(2)^{2}+2b+c=4\\f(2)&=4a+2b+c=4\\f(7)&=a(7)^{2}+7b+c=49\\f(7)&=49a+7b+c=49\\49a+7b+c&=49\\4a+2b+c&=4\\45a+5b&=45{\text{ (f(7) dikurangi f(2)) }}\\9a+b&=9\\b&=-9a+9\\4a+2b+c&=4\\4a+2(-9a+9)+c&=4\\4a-18a+18+c&=4\\-14a+18+c&=4\\c&=14a-14\\{\frac {c-b}{a-1}}&={\frac {14a-14-(-9a+9)}{a-1}}\\&={\frac {14(a-1)+9(a-1)}{a-1}}\\&={\frac {(14+9)(a-1)}{a-1}}\\&=23\\\end{aligned}}$$

1. Jika a³+b³ = 242 dan a+b = 11 maka berapa hasil dari (a-b)²?

Jawaban

$${\begin{aligned}(a+b)^{3}&=a^{3}+b^{3}+3ab(a+b)\\11^{3}&=242+3ab(11){\text{ (dibagi 11)}}\\11^{2}&=22+3ab\\121&=22+3ab\\99&=3ab\\ab&=33\\(a-b)^{2}&=a^{2}+b^{2}-2ab\\&=((a+b)^{2}-2ab)-2ab\\&=(a+b)^{2}-4ab\\&=11^{2}-4(33)\\&=121-132\\&=-11\\\end{aligned}}$$

1. Jika n = 2023²+2024² maka berapa hasil dari ${\sqrt {2n-1}}$?

Jawaban

$${\begin{aligned}n&=2023^{2}+2024^{2}\\&=2023^{2}+(2023+1)^{2}\\{\text{Misalkan 2023 = p}}\\n&=p^{2}+(p+1)^{2}\\&=p^{2}+p^{2}+2p+1\\&=2p^{2}+2p+1\\{\sqrt {2n-1}}&={\sqrt {2(2p^{2}+2p+1)-1}}\\&={\sqrt {4p^{2}+4p+2-1}}\\&={\sqrt {4p^{2}+4p+1}}\\&={\sqrt {(2p+1)^{2}}}\\&=2p+1\\&=2(2023)+1\\&=4046+1\\&=4047\\\end{aligned}}$$

1. Jika ${\frac {ab}{a+b}}={\frac {1}{3}}$, ${\frac {bc}{b+c}}={\frac {1}{4}}$ dan ${\frac {ac}{a+c}}={\frac {1}{9}}$ maka berapa hasil dari (a-c)^b?

Jawaban

$${\begin{aligned}{\frac {ab}{a+b}}&={\frac {1}{3}}\\{\frac {a+b}{ab}}&=3{\text{ (terbalik posisinya)}}\\{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{a}}&=3\\{\frac {bc}{b+c}}&={\frac {1}{4}}\\{\frac {b+c}{bc}}&=4{\text{ (terbalik posisinya)}}\\{\frac {1}{c}}+{\frac {1}{b}}&=4\\{\frac {ac}{a+c}}&={\frac {1}{9}}\\{\frac {a+c}{ac}}&=9{\text{ (terbalik posisinya)}}\\{\frac {1}{c}}+{\frac {1}{a}}&=9\\{\text{Misalkan 1/a = x, 1/b = y dan 1/c = z}}\\x+y&=3\\y+z&=4\\x+z&=9\\x+y&=3\\y+z&=4\\x-z&=-1\\x-z&=-1\\x+z&=9\\2x&=8\\x&=4\\x-z&=-1\\4-z&=-1\\z&=5\\x+y&=3\\4+y&=3\\y&=-1\\{\frac {1}{a}}&=4\\a&={\frac {1}{4}}\\{\frac {1}{b}}&=-1\\b&=-1\\{\frac {1}{c}}&=5\\c&={\frac {1}{5}}\\(a-c)^{b}&=({\frac {1}{4}}-{\frac {1}{5}})^{-1}\\&=({\frac {5-4}{20}})^{-1}\\&=({\frac {1}{20}})^{-1}\\&=20\\\end{aligned}}$$

1. Berapa banyaknya bilangan lima digit 743ab habis dibagi 5 dan 9?

Perhatikan angka terakhir pasti 0 atau 5 karena dibagi 5 dulu.

untuk 0 yaitu 743a0 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74340 saja.

untuk 5 yaitu 743a5 maka aturannya habis dibagi 9 yaitu semua jumlah angka-angka harus dibagi 9. Jadi hanya berarti 74385 saja.

Jadi banyaknya bilangan mungkin 2.

1. Buktikan bahwa 8ⁿ dibagi 7 hasil sisa selalu 1 untuk semua n adalah bilangan asli!

Cara 1

1. 8¹ = 1
2. 8² = 1 (8²=8¹x8¹ sama dengan 1x1)
3. 8³ = 1 (8³=8¹x8² sama dengan 1x1)
4. 8⁴ = 1 (8⁴=8¹x8³ sama dengan 1x1 atau 8⁴=(8²)² sama dengan 1^2)
5. 8⁵ = 1
6. 8ⁿ = 1 (semua n untuk bilangan asli)

Terbukti 8ⁿ dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli

Cara 2

1. 8ⁿ = b mod 7

1. 8¹ = 1 mod 7 (cari hasil 1 sebagai hasil terendah dimana 8¹ dianggap pangkat terkecil)
2. (8¹)ⁿ = 1ⁿ mod 7 (pangkat n kedua ruasnya)
3. 8ⁿ = 1ⁿ mod 7
4. 8ⁿ = 1 mod 7 (berapapun pangkatnya dimana 1 hasilnya 1)

Terbukti 8ⁿ dibagi 7 pasti bersisa 1 untuk semua n adalah bilangan asli

1. Berapa hasil sisa dari 17⁹⁹ dibagi 5?

Cara 1

1. 1 & 6 = sisa 1, 2 & 7 = sisa 2, 3 & 8 = sisa 3, 4 & 9 = sisa 4 serta 5 = sisa 0

1. 7¹ = 7 (sisa 1)
2. 7² = 49 (sisa 2)
3. 7³ = 343 (sisa 3)
4. 7⁴ = 2,401 (sisa 0)
5. 7⁵ = 16,807
6. 7⁶ = 117,649

nah 99 : 4 hasilnya 24 sisa 3 jadi 3 itu 343 lalu 343 dibagi 5 bersisa 3

Cara 2

17¹ = 2

17² = 4

17³ = 3

17⁴ = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas)

Bahwa 99 = 4 x 24 + 3

17⁹⁹ = (17⁴)²⁴ x 17³

Untuk 17⁴ hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17⁹⁹ dibagi 7 sama dengan sisa 17³ dibagi 7 yaitu 3. Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 3

Cara 3

Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 5, yaitu 17⁴

17⁴ = 1 mod 5

(17⁴)²⁴ = 1²⁴ mod 5

17⁹⁶ = 1²⁴ mod 5

17⁹⁶ = 1 mod 5

17⁹⁶ x 17³ = 1 x 17³ mod 5

17⁹⁹ = 17³ mod 5

17⁹⁹ = 17 x 17 x 17 mod 5

17⁹⁹ = 2 x 2 x 2 mod 5

17⁹⁹ = 8 mod 5

17⁹⁹ = 3 mod 5

Jadi 17⁹⁹ dibagi 5 bersisa 3

1. Berapa hasil sisa dari 17⁹⁹ dibagi 7?

Cara 1

17¹ = 3

17² = 2

17³ = 6

17⁴ = 4

17⁵ = 5

17⁶ = 1 (sampai disini karena pangkat selanjutnya yang menghasilkan angka berulang dari semula diatas)

Bahwa 99 = 6 x 16 + 3

17⁹⁹ = (17⁶)¹⁶ x 17³

Untuk 17⁶ hasilnya 1 jadi berapapun pangkat bilangan asli pasti tetap 1. sisa 17⁹⁹ dibagi 7 sama dengan sisa 17³ dibagi 7 yaitu 6. Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 6

Cara 2

Mulailah dari bilangan terkecil diatas yang bersisa 1 yang dibagi 7, yaitu 17⁶

17⁶ = 1 mod 7

(17⁶)¹⁶ = 1¹⁶ mod 7

17⁹⁶ = 1¹⁶ mod 7

17⁹⁶ = 1 mod 7

17⁹⁶ x 17³ = 1 x 17³ mod 7

17⁹⁹ = 17³ mod 7

17⁹⁹ = 17 x 17 x 17 mod 7

17⁹⁹ = 3 x 3 x 3 mod 7

17⁹⁹ = 27 mod 7

17⁹⁹ = 6 mod 7

Jadi 17⁹⁹ dibagi 7 bersisa 6

1. Berapa hasil sisa dari 41²⁰²⁴ dibagi 33?

Jawaban

$${\begin{aligned}41^{2024}&=41^{2024}{\text{ mod }}33\\&=(33\times 3+2)^{2024}{\text{ mod }}33\\&=2^{2024}{\text{ mod }}33\\&=2^{2020}2^{4}{\text{ mod }}33\\&=(2^{5})^{404}2^{4}{\text{ mod }}33\\&=(33-1)^{404}2^{4}{\text{ mod }}33\\&=(-1)^{404}2^{4}{\text{ mod }}33\\&=2^{4}{\text{ mod }}33\\&=16{\text{ mod }}33\\{\text{Jadi hasil sisa adalah }}16\\\end{aligned}}$$

1. Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 243ⁿ membagi 99⁹⁹?

Jawaban

$${\begin{aligned}99^{99}&=(3^{2}\times 11)^{99}\\&=3^{198}\times 11^{99}\\243^{n}&=(3^{5})^{n}\\&=3^{5n}\\{\text{agar bisa membagi, maka}}\\5n&=198\\n&=39.6\\{\text{jadi bilangan n terbesar adalah }}39\\\end{aligned}}$$

1. Berapa nilai bilangan n terbesar sehingga 512ⁿ membagi 88⁸⁸?

Jawaban

$${\begin{aligned}88^{88}&=(8\times 11)^{88}\\&=8^{88}\times 11^{88}\\&=8^{87}\times 8\times 11^{88}\\&=(8^{3})^{29}\times 8\times 11^{88}\\&=512^{29}\times 8\times 11^{88}\\512^{n}&=512^{29}\\{\text{jadi bilangan n terbesar adalah }}29\\\end{aligned}}$$

1. Tentukan bilangan bulat positif terkecil jika dibagi 3 bersisa 1, jika dibagi 5 bersisa 2 dan jika dibagi dengan 7 bersisa 6!

Cara 1

KPK dari 3,5 dan 7 adalah 105. Misalkan N adalah bilangan bulat positif jadi N < 105.

N dibagi 3 sisa 1

N dibagi 5 sisa 2

N dibagi 7 sisa 6

FPB dari 3,5 dan 7 adalah 1 maka cari bilangan KPK dari b dan c bersisa 1 dibagi a

KPK 5 dan 7 (35,70,105,dst) dibagi 3 sisa 1 yaitu 70

KPK 3 dan 7 (21,42,63,dst) dibagi 5 sisa 1 yaitu 21

KPK 3 dan 5 (15,30,45,dst) dibagi 7 sisa 1 yaitu 15

Jadi N = 1 x 70 + 2 x 21 + 6 x 15 = 202 tetapi diminta bilangan bulat terkecil jadi 202-105=97

Cara 2

Carilah 2 bilangan pembagi terbesar yaitu 5 dan 7 kemudian KPK dari 5 dan 7 adalah 35

kemudian ditambahkan sisa masing-masing sesuai dengan KPK.

KPK 3 bersisa 1: 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58, 61, 64, 67, 70, 73, 76, 79, 82, 85, 88, 91, 94, 97

KPK 5 bersisa 2: 37, 42, 47, 52, 57, 62, 67, 72, 77, 82, 87, 92, 97

KPK 7 bersisa 6: 41, 48, 55, 62, 69, 76, 83, 90, 97

Jadi bilangan bulat positif adalah 97

NB: kalau ditanyakan bilangan bulat tiga digit maka menjawabnya 202