Soal-Soal Matematika/Akar dan pangkat

Pangkat dua/Kuadrat

1. Hitunglah!

1. 8²
2. 42²
3. 151²

Jawaban

1. 8² = 64
2. 42² = 1,764
3. 151² = 22,801

Akar dua/Kuadrat

1. Hitunglah!

$${\begin{aligned}&1.{\sqrt {81}}\\&2.{\sqrt {2,916}}\\&3.{\sqrt {63,001}}\\\end{aligned}}$$

Jawaban

$${\begin{aligned}&1.{\sqrt {81}}=9\\&2.{\sqrt {2,916}}=54\\&3.{\sqrt {63,001}}=251\\\end{aligned}}$$

Pangkat tiga/Kubik

1. Hitunglah!

1. 6³
2. 64³
3. 324³

Jawaban

1. 6³ = 216
2. 64³ = 262,144
3. 324³ = 34,012,224

Akar tiga/Kubik

Pembahasan untuk mencari hasil dari akar tiga/Kubik

Data:

Pangkat tiga	Hasil	Pangkat tiga	Hasil
1	1	6	216
2	8	7	343
3	27	8	512
4	64	9	729
5	125	10	1,000

Langkah-langkahnya hasil dimulainya dari angka terakhir ke angka depan:

1. Untuk satuan, perhatikan satuan dari hasil masing-masing sesuai dengan berurutan sebagai berikut: 1 (1), 2 (8), 3 (7), 4 (4), 5 (5), 6 (6), 7 (3), 8 (2), 9 (9) dan 0 (0). Dalam satuan tersebut maka satuan bernilai tetap adalah 0, 1, 4, 5, 6 dan 9 sedangkan satuan berubah dan posisinya terbalik adalah 2, 3, 7 dan 8.
2. Untuk puluhan, ratusan, dsb. Sisipan tiga basis masing-masing, tiap basis hasil angka itu antara hasil sebelumnya dan sesudahnya dan terambil angka hasil sebelumnya contoh: 412 itu berarti antara 343 dan 512 jadi terambilnya 343 berarti 7.

1. Hitunglah!

$${\begin{aligned}&1.{\sqrt[{3}]{64}}\\&2.{\sqrt[{3}]{474,552}}\\&3.{\sqrt[{3}]{48,228,544}}\\\end{aligned}}$$

Jawaban

$${\begin{aligned}&1.{\sqrt[{3}]{64}}=4\\&2.{\sqrt[{3}]{474,552}}=78\\&3.{\sqrt[{3}]{48,228,544}}=364\\\end{aligned}}$$

Angka terakhir dalam berpangkat

	Pangkat 1	Pangkat 2	Pangkat 3	Pangkat 4
2	2	4	8	6
3	3	9	7	1
4	4	6	4	6
7	7	9	3	1
8	8	4	2	6
9	9	1	9	1

Keterangan

1. untuk pangkat 5,6,7, dst pasti berulang yang sama dengan keempat angka secara berurutan diatas data tsb.
2. untuk angka 0,1,5 dan 6 dimana hasil akhir angka terakhir selalu sama dengan angka satuan utamanya.

Tambahan

Perakaran berulang	Hasil
${\sqrt {a+{\sqrt {a+{\sqrt {a+\dots }}}}}}$	${\frac {1+{\sqrt {1+4a}}}{2}}$
${\sqrt {a-{\sqrt {a-{\sqrt {a-\dots }}}}}}$	${\frac {-1+{\sqrt {1+4a}}}{2}}$
${\sqrt {a\cdot {\sqrt {a\cdot {\sqrt {a\cdot \dots }}}}}}$	a
${\sqrt {\frac {a}{\sqrt {\frac {a}{\sqrt {\frac {a}{\dots }}}}}}}$	${\sqrt[{3}]{a}}$

${\sqrt {a\cdot {\sqrt {a\cdot {\sqrt {a\cdot \dots \cdot {\sqrt {a}}}}}}}}=a^{\frac {2^{n}-1}{2^{n}}}$ (n = banyaknya jumlah akar)

Pecahan bersusun berulang

Bentuk: ${\frac {a}{b+c{\frac {a}{b+c{\frac {a}{b+c\dots }}}}}}$

$a+b+{\frac {ab}{a+b+{\frac {ab}{a+b+\dots }}}}=a{\text{ dimana a lebih besar dari b }}$

$\pm (a+b)-{\frac {ab}{\pm (a+b)-{\frac {ab}{\pm (a+b)-\dots }}}}=\pm a{\text{ atau }}\pm b$

Rumus

• (ax+b)(cx+d) = acx²+(ad+bc)x+bd
• (ax+b)² = a²x²+2abx+b²
• (ax-b)² = a²x²-2abx+b²
• (ax+b)(ax-b) = a²x²-b²x²
• $({\sqrt {a}}\pm {\sqrt {b}})^{2}=a^{2}+b^{2}\pm 2{\sqrt {ab}}$
• ${\frac {1}{\sqrt {a}}}={\frac {1}{\sqrt {a}}}\cdot {\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {a}}}={\frac {\sqrt {a}}{a}}$
• ${\frac {1}{{\sqrt {a}}\pm {\sqrt {b}}}}={\frac {1}{{\sqrt {a}}\pm {\sqrt {b}}}}\cdot {\frac {{\sqrt {a}}\mp {\sqrt {b}}}{{\sqrt {a}}\mp {\sqrt {b}}}}={\frac {{\sqrt {a}}\mp {\sqrt {b}}}{a-b}}$

Hukum Pascal

1. $(a\pm b)^{0}=1$
2. $(a\pm b)^{1}=a\pm b$
3. $(a\pm b)^{2}=a^{2}\pm 2ab+b^{2}$
4. $(a\pm b)^{3}=a^{3}\pm 3a^{2}b+3ab^{2}\pm b^{3}$
5. $(a\pm b)^{4}=a^{4}\pm 4a^{3}b+6a^{2}b^{2}\pm 4ab^{3}+b^{4}$

dst

Pembagian istimewa

1

1. $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$
2. $a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$
3. $a^{4}-b^{4}=(a-b)(a^{3}+a^{2}b+ab^{2}+b^{3})=(a-b)(a+b)(a^{2}+b^{2})$
4. $a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+\dots +a^{2}b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1})$

2

1. $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$
2. $a^{4}-b^{4}=(a+b)(a^{3}-a^{2}b+ab^{2}-b^{3})$
3. $a^{6}-b^{6}=(a+b)(a^{5}-a^{4}b+a^{3}b^{2}-a^{2}b^{3}+ab^{4}-b^{5})$
4. $a^{n}-b^{n}=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}-\dots -a^{2}b^{n-3}+ab^{n-2}-b^{n-1})$ (n harus bilangan genap)

3

1. $a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$
2. $a^{5}+b^{5}=(a+b)(a^{4}-a^{3}b+a^{2}b^{2}-ab^{3}+b^{4})$
3. $a^{7}+b^{7}=(a+b)(a^{6}-a^{5}b+a^{4}b^{2}-a^{3}b^{3}+a^{2}b^{4}-ab^{5}+b^{6})$
4. $a^{n}+b^{n}=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}-\dots +a^{2}b^{n-3}-ab^{n-2}+b^{n-1})$ (n harus bilangan ganjil)

Pembagian x

1. $a^{2}+b^{2}=(a-b)((a+b)+{\frac {2b^{2}}{a-b}})$
2. $a^{3}+b^{3}=(a-b)((a^{2}+ab+b^{2})+{\frac {2b^{3}}{a-b}})$
3. $a^{4}+b^{4}=(a-b)((a^{3}+a^{2}b+ab^{2}+b^{3})+{\frac {2b^{4}}{a-b}})=(a-b)((a+b)(a^{2}+b^{2})+{\frac {2b^{4}}{a-b}})$
4. $a^{n}+b^{n}=(a-b)((a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+\dots +a^{2}b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1})+{\frac {2b^{n}}{a-b}})$