Soal-Soal Matematika/Bangun datar

Bangun datar disebut juga dimensi dua yang memiliki sebidang serta beberapa rusuknya. bangun ini memiliki simetri lipat, simetri putar dan sumbu simetri

bangun datar	simetri lipat	simetri putar	sumbu simetri
persegi	4	4	4
segi-n
persegi panjang	2	2	2
segitiga sama sisi	3	3	3
segitiga sama kaki	1	0	1
segitiga siku-siku	1	0	1
lingkaran	takhingga	takhingga	takhingga
jajar genjang	0	2	0
belah ketupat	2	2	2
trapesium sama kaki	1	0	1
trapesium siku-siku	0	0	0
layang-layang	1	0	1
elips	2	0	2

Hubungan ketiga sisi segitiga dengan jari-jari lingkaran (lingkaran dalam segitiga siku-siku)

$r={\frac {a+b-c}{2}}$

Pembuktian

$${\begin{aligned}a-r+b-r&=c\\a+b-2r&=c\\2r&=a+b-c\\r&={\frac {a+b-c}{2}}\\\end{aligned}}$$

Hubungan dua tali busur dengan jari-jari lingkaran

$r={\sqrt {\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}{4}}}$

Pembuktian

$${\begin{aligned}{\text{ misalkan }}p&={\frac {c+d}{2}}{\text{ dan }}q={\frac {a+b}{2}}\\{\text{ misalkan persegi panjang dibuat x dan y}}&\\x+p&=d\\x+{\frac {c+d}{2}}&=d\\x&=d-{\frac {c+d}{2}}\\x&={\frac {d-c}{2}}\\y+q&=b\\y+{\frac {a+b}{2}}&=b\\y&=b-{\frac {a+b}{2}}\\y&={\frac {b-a}{2}}\\y^{2}+p^{2}&=r^{2}\\({\frac {b-a}{2}})^{2}+({\frac {c+d}{2}})^{2}&=r^{2}\\{\frac {a^{2}-2ab+b^{2}}{4}}+{\frac {c^{2}+2cd+d^{2}}{4}}&=r^{2}\\x^{2}+q^{2}&=r^{2}\\({\frac {d-c}{2}})^{2}+({\frac {a+b}{2}})^{2}&=r^{2}\\{\frac {c^{2}-2cd+d^{2}}{4}}+{\frac {a^{2}+2ab+b^{2}}{4}}&=r^{2}\\{\text{jumlah dua persamaan tersebut menjadi }}&\\{\frac {a^{2}-2ab+b^{2}}{4}}+{\frac {c^{2}+2cd+d^{2}}{4}}{\frac {c^{2}-2cd+d^{2}}{4}}+{\frac {a^{2}+2ab+b^{2}}{4}}&=2r^{2}\\{\frac {2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}+2d^{2}}{4}}&=2r^{2}\\{\frac {2(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})}{4}}&=2r^{2}\\{\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}{4}}&=r^{2}\\a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}&=4r^{2}\\r&={\sqrt {\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}{4}}}\\\end{aligned}}$$

Lingkaran dalam segitiga

$r={\frac {L}{s}}$ (s adalah setengah keliling segitiga)

Pembuktian

$${\begin{aligned}{\text{ misalkan luas segitiga AOC }}L_{a}&={\frac {ra}{2}}\\{\text{ misalkan luas segitiga COB }}L_{b}&={\frac {rb}{2}}\\{\text{ misalkan luas segitiga BOC }}L_{c}&={\frac {rc}{2}}\\{\text{ maka total luas ketiga segitiga tersebut adalah }}L&=L_{a}+L_{b}+L_{c}\\&={\frac {ra}{2}}+{\frac {rb}{2}}+{\frac {rc}{2}}\\&=r{\frac {a+b+c}{2}}\\&=rs\\r&={\frac {L}{s}}\\\end{aligned}}$$

Lingkaran luar segitiga

$r={\frac {abc}{4L}}$

Pembuktian

$${\begin{aligned}{\text{ lihat posisi kesebangunan }}{\frac {t}{b}}&={\frac {c}{2r}}\\t&={\frac {bc}{2r}}\\L&={\frac {at}{2}}\\&={\frac {abc}{2(2r)}}\\r&={\frac {abc}{4L}}\\\end{aligned}}$$

Garis singgung (satu) lingkaran

$d={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}$

Garis singgung persekutuan dalam (dua) lingkaran

$d={\sqrt {p^{2}-(R+r)^{2}}}$

Garis singgung persekutuan luar (dua) lingkaran

$d={\sqrt {p^{2}-(R-r)^{2}}}$

Teorema Ceva

AF x BD x CE = BF x CD x AE

Teorema de Pitot

AB + DC = AD + BC

Aspek tali busur dalam lingkaran

AE x EC = BE x ED

Teorema Ptolomeo

AC x BD = AB x DC + AD x BC

Tali busur pada satu titik di luar lingkaran

(a + b) x b = (c + d) x d