Soal-Soal Matematika/Diferensial

Kaidah umum

$\left({cf}\right)'=cf'$

$\left({f+g}\right)'=f'+g'$

$\left({f-g}\right)'=f'-g'$

Kaidah darab

$\left({fg}\right)'=f'g+fg'$

Kaidah timbalbalik

$\left({\frac {1}{f}}\right)'={\frac {-f'}{f^{2}}},\qquad f\neq 0$

Kaidah hasil-bagi

$\left({f \over g}\right)'={f'g-fg' \over g^{2}},\qquad g\neq 0$

Kaidah rantai

$(f\circ g)'=(f'\circ g)g'$

Turunan fungsi invers

$(f^{-1})'={\frac {1}{f'\circ f^{-1}}}$

untuk setiap fungsi terdiferensialkan f dengan argumen riil dan dengan nilai riil, bila komposisi dan invers ada

Kaidah pangkat umum

$(f^{g})'=f^{g}\left(g'\ln f+{\frac {g}{f}}f'\right)$

rumus sederhana

$c'=0\,$

$x'=1\,$

$(cx)'=c\,$

$|x|'={x \over |x|}=\operatorname {sgn} x,\qquad x\neq 0$

$(x^{c})'=cx^{c-1}\qquad {\mbox{baik }}x^{c}{\mbox{ maupun }}cx^{c-1}{\mbox{ terdefinisi}}$

$\left({1 \over x}\right)'=\left(x^{-1}\right)'=-x^{-2}=-{1 \over x^{2}}$

$\left({1 \over x^{c}}\right)'=\left(x^{-c}\right)'=-cx^{-(c+1)}=-{c \over x^{c+1}}$

$\left({\sqrt {x}}\right)'=\left(x^{1 \over 2}\right)'={1 \over 2}x^{-{1 \over 2}}={1 \over 2{\sqrt {x}}},\qquad x>0$

$\left(x^{n}\right)'=n\cdot x^{n-1}$

$\left(u^{n}\right)'=n\cdot u'\cdot u^{n-1}$

Eksponen dan logaritma

$\left(c^{x}\right)'=c^{x}\ln c,\qquad c>0$

$\left(e^{x}\right)'=e^{x}$

$\left(^{c}\log x\right)'={\frac {1}{x\ln c}},\qquad c>0$

$\left(\ln x\right)'={\frac {1}{x}}$

Trigonometri

$(\sin x)'=\cos x\,$	$(\arcsin x)'={1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\,$
$(\cos x)'=-\sin x\,$	$(\arccos x)'={-1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\,$
$(\tan x)'=\sec ^{2}x={1 \over \cos ^{2}x}=1+\tan ^{2}x\,$	$(\arctan x)'={1 \over 1+x^{2}}\,$
$(\sec x)'=\sec x\tan x\,$	$(\operatorname {arcsec} x)'={1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}\,$
$(\csc x)'=-\csc x\cot x\,$	$(\operatorname {arccsc} x)'={-1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}\,$
$(\cot x)'=-\csc ^{2}x={-1 \over \sin ^{2}x}=-(1+\cot ^{2}x)\,$	$(\operatorname {arccot} x)'={-1 \over 1+x^{2}}\,$

• Tambahkan:
  • $(\sin ^{n}x)'=n\sin ^{n-1}xcosx\,$
  • $(\sin u)'=u'\cos u\,$
  • $(\sin ^{n}u)'=nu'\sin ^{n-1}ucosu\,$

Hiperbolik

Perhatikan sebagai berikut

$sinhx={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}$

$coshx={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}$

$(\sinh x)'=\cosh x$	$(\operatorname {arcsinh} \,x)'={1 \over {\sqrt {x^{2}+1}}}$
$(\cosh x)'=\sinh x$	$(\operatorname {arccosh} \,x)'={1 \over {\sqrt {x^{2}-1}}}$
$(\tanh x)'=\operatorname {sech} ^{2}\,x$	$(\operatorname {arctanh} \,x)'={1 \over 1-x^{2}}$
$(\operatorname {sech} \,x)'=-\tanh x\,\operatorname {sech} \,x$	$(\operatorname {arcsech} \,x)'={-1 \over x{\sqrt {1-x^{2}}}}$
$(\operatorname {csch} \,x)'=-\,\operatorname {coth} \,x\,\operatorname {csch} \,x$	$(\operatorname {arccsch} \,x)'={-1 \over |x|{\sqrt {1+x^{2}}}}$
$(\operatorname {coth} \,x)'=-\,\operatorname {csch} ^{2}\,x$	$(\operatorname {arccoth} \,x)'={1 \over 1-x^{2}}$

catatan: jika x diganti u maka merumuskan seperti uⁿ.

implisit

• cara 1

$ax+by=1$

$a+by'=0$

$y'=-{\frac {a}{b}}$

• cara 2

persamaan F(x,y) dibuat hasil nol kemudian diubah menjadi ${\frac {d_{y}}{d_{x}}}=-{\frac {F_{x}(x,y)}{F_{y}(x,y)}}$

contoh:

1. Sehelai karton berbentuk persegipanjang dengan ukuran 45 x 24 cm. Karton ini akan dibuat kotak tanpa tutup dengan cara memotong keempat pojoknya berupa persegi dan melipatnya. Tentukan ukuran kotak agar volume maksimum!

Jawaban

$${\begin{aligned}{\text{Misal tinggi adalah x}}\\t=x,p&=45-2x,l=24-2x\\v&=(45-2x)\cdot (24-2x)\cdot x\\&=4x^{3}-138x^{2}-1080x\\{\text{agar volume maksimum adalah v'(x) = 0}}\\v(x)&=4x^{3}-138x^{2}-1080x\\v'(x)&=12x^{2}-376x-1080\\v'(x)&=0\\12x^{2}-376x-1080&=0\\12(x^{2}-23x-90)&=0\\x^{2}-23x-90&=0\\(x-18)(x-5)&=0\\x&=18{\text{atau}}x=5\\\end{aligned}}$$ jadi yang memenuhi x adalah 5 maka ukurannya adalah 35x14x5 cm

1. Jumlah kedua bilangan adalah 40. Tentukan hasil kali agar nilainya maksimum!

Jawaban

$${\begin{aligned}{\text{Misal kedua bilangan masing-masing adalah x dan y}}\\x+y&=40\\y&=40-x\\{\text{agar nilai hasil kali maksimum adalah h'(x) = 0}}\\h(x)&=x\cdot y\\h(x)&=x\cdot (40-x)\\h(x)&=40x-x^{2}\\h'(x)&=40-2x\\h'(x)&=0\\40-2x&=0\\2x&=40\\x&=20\\h(x)=20\cdot (40-20)\\h(x)=20\cdot 20\\h(x)=400\\\end{aligned}}$$ jadi hasil kalinya adalah 400

• Tentukan hasil turunan pertama dari x³-y²=15!

cara 1

Jawaban

$${\begin{aligned}x^{3}-y^{2}&=15\\y^{2}&=x^{3}-15\\y&={\sqrt {x^{3}-15}}\\y'&={\frac {3x^{2}}{2{\sqrt {x^{3}-15}}}}\\y'&={\frac {3x^{2}{\sqrt {x^{3}-15}}}{2(x^{3}-15)}}\\\end{aligned}}$$

cara 2

Jawaban

$${\begin{aligned}x^{3}-y^{2}&=15\\3x^{2}-2yy'&=0\\2yy'&=3x^{2}\\y'&={\frac {3x^{2}}{2y}}\\{\text{untuk mencari nilai y maka}}\\x^{3}-y^{2}&=15\\y^{2}&=x^{3}-15\\y&={\sqrt {x^{3}-15}}\\y'&={\frac {3x^{2}}{2y}}\\y'&={\frac {3x^{2}}{2{\sqrt {x^{3}-15}}}}\\y'&={\frac {3x^{2}{\sqrt {x^{3}-15}}}{2(x^{3}-15)}}\\\end{aligned}}$$

cara 3

Jawaban

$${\begin{aligned}x^{3}-y^{2}&=15\\x^{3}-y^{2}-15&=0\\y'(x)&=3x^{2}\\y'(y)&=-2y\\y'={\frac {dy}{dx}}&=-{\frac {y'(x)}{y'(y)}}\\&=-{\frac {3x^{2}}{-2y}}\\&={\frac {3x^{2}}{2y}}\\{\text{untuk mencari nilai y maka}}\\x^{3}-y^{2}&=15\\y^{2}&=x^{3}-15\\y&={\sqrt {x^{3}-15}}\\y'&={\frac {3x^{2}}{2y}}\\y'&={\frac {3x^{2}}{2{\sqrt {x^{3}-15}}}}\\y'&={\frac {3x^{2}{\sqrt {x^{3}-15}}}{2(x^{3}-15)}}\\\end{aligned}}$$