Soal-Soal Matematika/Kekontinuan

Fungsi kontinu

Fungsi f dikatakan kontinu di c ε [a,b] jika dipenuhi tiga hal sebagai berikut:

1. Fungsi terdefinisikan di c yaitu f(c) ada
2. $\lim \limits _{x\to c}f(x)$ ada
3. $\lim \limits _{x\to c}f(x)=f(c)$

contoh

1. Selidiki kontinuitas fungsi f(x) = x²+3x+5 di titik x=1!

jawaban:

f(1) = 1²+3(1)+5 = 9 ada (terdefinisikan)

$\lim \limits _{x\to 1}f(x)=\lim \limits _{x\to 1}x^{2}+3x+5=1^{2}+3(1)+5=9$ ada

$\lim \limits _{x\to 1}f(x)=f(1)=9$

Karena ketiga syarat terpenuhi, maka f(x) kontinu di x = 1. Untuk selanjutnya dapat dibuktikan bahwa f(x) kontinu pada $-\infty <x<\infty$

1. Selidiki kontinuitas fungsi $f(x)={\frac {x^{2}-16}{x-4}}$ di titik x=4!

jawaban:

untuk x = 4 maka f(4) = 0/0 tidak terdefinisikan

$\lim \limits _{x\to 4}f(x)=\lim \limits _{x\to 4}{\frac {x^{2}-16}{x-4}}=\lim \limits _{x\to 4}{\frac {(x+4)(x-4)}{x-4}}=8$

$\lim \limits _{x\to 4}f(x)\neq f(4)$

karena syarat kontinuitas tidak terpenuhi maka f(x) tidak kontinu di x = 4. Agar f(x) kontinu di x = 4 maka kita terdefinisikan bahwa

$f(x)={\begin{cases}{\frac {x^{2}-16}{x-4}}&{\text{ untuk }}x\neq 4\\8&{\text{ untuk }}x=4\end{cases}}$

Fungsi polinom

$f(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+\dots +a_{n-1}x+a_{n}$ kontinu di $-\infty <x<\infty$

Bila f(x) dan g(x) [dua fungsi polinom] maka

$f(x)\pm g(x)$ kontinu

$f(x)\cdot g(x)$ kontinu

${\frac {f(x)}{g(x)}}$ kontinu kecuali pada x yang menyebabkan g(x) = 0

contoh

1. $f(x)={\begin{cases}x&{\text{ untuk }}x<4\\4&{\text{ untuk }}x=4\\3x-8&{\text{ untuk }}x>4\\\end{cases}}$

$\lim \limits _{x\to 4^{-}}f(x)=\lim \limits _{x\to 4^{+}}f(x)=f(4)=4$

f(x) kontinu di x = 4

1. $f(x)={\begin{cases}x&{\text{ untuk }}x<3\\2&{\text{ untuk }}x=3\\x&{\text{ untuk }}x>3\\\end{cases}}$

$\lim \limits _{x\to 3^{-}}f(x)=\lim \limits _{x\to 3^{+}}f(x)=3$ tapi f(3) = 2

f(x) tidak kontinu di x = 3

Fungsi multak

f(x) = |x| kontinu di setiap nilai riil x

$f(x)={\sqrt[{n}]{x}}$ dengan n ganjil kontinu di setiap nilai riil x

$f(x)={\sqrt[{n}]{x}}$ dengan n genap kontinu di setiap nilai x > 0

contoh

1. Selidiki kontinuitas fungsi f(x) = |x| pada -∞ <x < ∞!

jawaban:

ingat kembali $f(x)={\begin{cases}-x&{\text{ untuk }}x<0\\0&{\text{ untuk }}x=0\\x&{\text{ untuk }}x>0\\\end{cases}}$

sekarang bagaimana kontinuitas di titik x = 0?

$\lim \limits _{x\to 0^{-}}f(x)=\lim \limits _{x\to 0^{-}}(-x)=0$ dan $\lim \limits _{x\to 0^{+}}f(x)=\lim \limits _{x\to 0^{+}}(x)=0$

ternyata limit kiri = limit kanan = 0 = f(x). Fungsi f(x) kontinu di x = 0. Dengan demikian f(x) = |x| kontinu di semua x