Soal-Soal Matematika/Logika matematika

(Sifat) Hukum logika

1. Hukum komutatif
   • p ∧ q ≡ q ∧ p
   • p ∨ q ≡ q ∨ p
2. Hukum asosiatif
   • (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r)
   • (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r)
3. Hukum distributif
   • p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
   • p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
4. Hukum identitas
   • p ∧ B ≡ p
   • p ∨ S ≡ p
5. Hukum ikatan
   • p ∧ S ≡ S
   • p ∨ B ≡ B
6. Hukum negasi
   • p ∧ ~p ≡ S
   • p ∨ ~p ≡ B
7. Hukum negasi ganda
   • ~(~p) ≡ p
8. Hukum idempotent
   • p ∧ p ≡ p
   • p ∨ p ≡ p
9. Hukum De Morgan
   • ~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q
   • ~(p ∨ q) ≡ ~p ∧ ~q
10. Hukum penyerapan
    • p ∧ (p ∨ q) ≡ p
    • p ∨ (p ∧ q) ≡ p
11. Negasi B dan S
    • ~B ≡ S
    • ~S ≡ B
12. p → q ≡ ~p ∨ q
13. p → q ≡ ~q → ~p
14. p ↔ q ≡ (~p ∨ q) ∧ (p ∨ ~q)

Jenis-jenis operasi pada tabel kebenaran

Operasi yang digunakan adalah

1. Negasi

Tabel kebenaran untuk tidak p (juga ditulis ¬p, Np, Fpq, atau ~p) adalah di bawah ini:

Logika negasi

p	¬p
B	S
S	B

1. Konjungsi

Tabel kebenaran untuk p dan q (juga ditulis p ∧ q, Kpq, p & q, atau p $\cdot$ q) adalah di bawah ini:

Logika konjungsi

p	q	p ∧ q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	S

nama lain selain dan yaitu tetapi, walaupun atau meskipun.

1. Disjungsi inklusif (sering disebut sebagai disjungsi saja)

Tabel kebenaran untuk p atau q (juga ditulis p ∨ q, Apq, p || q, atau p + q) adalah di bawah ini:

Logika disjungsi

p	q	p ∨ q
B	B	B
B	S	B
S	B	B
S	S	S

1. Implikasi

Tabel kebenaran untuk jika p maka q (juga ditulis p → q, Cpq, atau p ⇒ q) adalah di bawah ini:

Logika kesamaan

p	q	p ⇒ q
B	B	B
B	S	S
S	B	B
S	S	B

nama lain selain jika A maka B yaitu A hanya jika B, B jika A, A syarat cukup bagi B, B syarat perlu bagi A, A mengakibatkan B atau B menurut A.

1. Kesamaan atau Bikondisional (sering disebut sebagai biimplikasi saja)

Tabel kebenaran untuk p jika dan hanya jika q (juga ditulis p ↔ q, Epq, p = q, atau p ≡ q) adalah di bawah ini:

Logika kesamaan

p	q	p ≡ q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	B

nama lain selain A jika dan hanya jika B yaitu jika A maka B dan jika B maka A atau A syarat cukup dan perlu bagi B.

1. Disjungsi eksklusif

Tabel kebenaran untuk tidak kedua-duanya p atau q (juga ditulis p ⊕ q, Jpq, atau p ≠ q) adalah di bawah ini:

Disjungsi eksklusif

p	q	p ⊕ q
B	B	S
B	S	B
S	B	B
S	S	S

Jumlah kemungkinan hasil adalah $2^{n}$, dimana n adalah jumlah pernyataan dasar yang ada (p, q, r, dsb). Namun, p dan ~p (negasi p) tidak dihitung sebagai pernyataan yang berbeda.

Invers, Konvers dan Kontraposisi

• Invers dari $p\to q$ adalah ~p → ~q
• Konvers dari $p\to q$ adalah q → p
• Kontraposisi dari $p\to q$ adalah ~q → ~p

Penarikan kesimpulan

Modus ponens

premis 1: p → q

premis 2: p

kesimpulan: q

Modus tollens

premis 1: p → q

premis 2: ~q

kesimpulan: ~p

Silogisme

premis 1: p → q

premis 2: q → r

kesimpulan: p → r

contoh

1. negasikan dari kalimat berikut:

• Semua siswa TK lulus sekolah.
• Ada orang yang tidak memakai helm pada saat dirazia.

Jawaban

Beberapa siswa TK tidak lulus sekolah.

Seluruh orang yang memakai helm pada saat dirazia.

1. cari kesimpulan dari dua pernyataan sebagai berikut:

• Semua pengendara sepeda motor memakai helm. Setiap orang yang memakai helm adalah mahasiswa.
• Jika Ani rajin dan pandai maka ia lulus ujian. Ani tidak lulus ujian.
• Ibu tidak cantik atau jujur. Ibu cantik.

Jawaban

Semua pengendara sepeda motor memakai helm. Setiap orang yang memakai helm adalah mahasiswa.

Semua pengendara sepeda motor memakai helm. (p-> q)

Setiap orang yang memakai helm adalah mahasiswa. (q -> r)

kesimpulan adalah Semua pengendara sepeda motor adalah mahasiswa. (p -> r)

Jika Ani rajin dan pandai maka ia lulus ujian. Ani tidak lulus ujian.

Jika Ani rajin dan pandai maka ia lulus ujian. ((p ∧ q) -> r)

Ani tidak lulus ujian. (~r)

kesimpulan adalah Ani tidak rajin atau tidak pandai. (~(p ∧ q) = ~p v ~q)

Ibu tidak cantik atau jujur. Ibu cantik

Ibu tidak cantik atau jujur. (~p v q = p -> q)

Ibu cantik. (p)

kesimpulan adalah Ibu jujur. (q)