Soal-Soal Matematika/Permutasi dan kombinasi

Pemodelan faktorial

beberapa contoh sebagai berikut:

1. faktorial

• ${\frac {1}{2}}!={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}$
• 0! = 1
• 1! = 1
• 2! = 2 x (2-1) = 2 x 1 = 1
• 3! = 3 x (3-1) x (3-2) = 3 x 2 x 1 = 6
• 4! = 4 x (4-1) x (4-2) x (4-3) = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
• n! = $\prod _{i=1}^{n}i=nH(n-1)=1\cdot 2\cdot \cdots n.$

1. faktorial ganda

• 2!! = 2
• 3!! = 3 x (3-2) = 3 x 1 = 3
• 4!! = 4 x (4-2) = 4 x 2 = 8
• 5!! = 5 x (5-2) x (5-4) = 5 x 3 x 1 = 15
• 6!! = 6 x (6-2) x (6-4) = 6 x 4 x 2 = 48
• n!! = n x (n-2) x (n-4) x (n-6) dst…

1. faktorial tiga

• 3!!! = 3 = 3
• 4!!! = 4 x (4-3) = 4 x 1 = 4
• 5!!! = 5 x (5-3) = 5 x 2 = 10
• 6!!! = 6 x (6-3) = 6 x 3 = 18
• 7!!! = 7 x (7-3) x (7-6) = 7 x 4 x 1 = 28
• 8!!! = 8 x (8-3) x (8-6) = 8 x 5 x 2 = 80
• n!!! = n x (n-3) x (n-6) x (n-9) dst…

1. bagian faktorial

• !0 = 0! $(1-{\frac {1}{0!}})$ = 0
• !1 = 1! $(1-{\frac {1}{1!}})$ = 0
• !2 = 2! $(1-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}})$ = 1
• !3 = 3! $(1-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}})$ = 2
• !4 = 4! $(1-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}})$ = 9
• !n = n! $(1-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-\cdot \pm {\frac {1}{n!}})$

1. ? faktorial

• 1$ = 1! = 1
• 2$ = 2!^2! = 4
• 3$ = 3!^3!3!3!3!3! =
• n$ = $n!^{n!}=$ (banyaknya hasil faktorial dari n!)

1. lebih faktorial

• S(1) = 1! = 1
• S(2) = 2! x 1! = 2
• S(3) = 3! x 2! x 1! = 12
• S(4) = 4! x 3! x 2! x 1! = 288
• S(n) = $\prod _{i=1}^{n}i!=i!H(n-1)=1!\cdot 2!\cdot \cdots n!=1!\cdot 2!\cdot \cdots n!.$

1. paling faktorial

• H(1) = 1¹ = 1
• H(2) = 2² x 1¹ = 4
• H(3) = 3³ x 2² x 1¹ = 108
• H(n) = $\prod _{i=1}^{n}i^{i}=n^{n}H(n-1)=1^{1}\cdot 2^{2}\cdot \cdots n^{n}.$

1. primorial

• 2# = 2
• 3# = 2 x 3 = 5
• 5# = 2 x 3 x 5 = 30
• 7# = 2 x 3 x 5 x 7 = 210
• n# = 2 x 3 x 5 x …. x n (n adalah bilangan prima secara berurutan)

Koefisien binomial

(x+y)ⁿ = $\sum _{k=0}^{n}C_{k}^{n}x^{n-k}y^{k}$

$(_{k=0}^{n})$ digunakan sebagai pemodelan kombinasi.

suku ke-a adalah u_a=u_k+1.

penjabaran tersebut memiliki n+1 suku.

suku ke-a adalah $C_{a-1}^{n}x^{n-a+1}y^{a-1}$.

koefisien ke-a adalah $(_{a-1}^{n})$.

contoh soal

1. sederhanakan dari B = $(x-2)^{5}+5(x-2)^{4}+10(x-2)^{3}+10(x-2)^{2}+5(x-2)+1$!

jawaban

Dari di atas bahwa koefisien binomial adalah (a+b)⁵ = $a^{5}+5a^{4}b+10a^{3}b^{2}+10a^{2}b^{3}+5ab^{4}+b^{5}$

Jadi B = $(x-2)^{5}+5(x-2)^{4}+10(x-2)^{3}+10(x-2)^{2}+5(x-2)+1$

B = ((x-2)+1)⁵ = (x-1)⁵

1. Jika disusun dimulai dari suku dengan variabel berpangkat tertinggi, maka berapa hasil suku keenam setelah ekspansi $(x^{3}-4)^{8}$!

Jawaban

$${\begin{aligned}U_{6}&=C_{5}^{8}(x^{3})^{8-5}(-4)^{5}\\&={\frac {8!}{5!\cdot 3!}}x^{9}(-1.024)\\&={\frac {8\cdot 7\cdot 6\cdot 5!}{5!\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}x^{9}(-1.024)\\&=(56)x^{9}(-1.024)\\&=-57.344x^{9}\end{aligned}}$$

1. Jika disusun dimulai dari suku dengan variabel berpangkat tertinggi, maka berapa hasil suku ketujuh setelah ekspansi $({\frac {x^{4}}{2}}-{\frac {4}{y}})^{10}$!

Jawaban

$${\begin{aligned}U_{7}&=C_{6}^{10}({\frac {x^{4}}{2}})^{10-6}({\frac {4}{y}})^{6}\\&={\frac {10!}{6!\cdot 4!}}({\frac {x^{4}}{2}})^{4}{\frac {4^{6}}{y^{6}}}\\&={\frac {10!}{6!\cdot 4!}}{\frac {x^{16}}{2^{4}}}{\frac {4^{6}}{y^{6}}}\\&={\frac {10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6!}{6!\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}{\frac {x^{16}}{2^{4}}}{\frac {2^{12}}{y^{6}}}\\&=210{\frac {2^{8}x^{16}}{y^{6}}}\\\end{aligned}}$$

1. Berapa hasil koefisien ${\frac {x^{4}}{y^{12}}}$ dari hasil penjabaran $(x^{2}+{\frac {4}{y^{3}}})^{6}$!

Jawaban

$${\begin{aligned}&=C_{k}^{n}(a)^{n-k}(b)^{k}\\&=C_{k}^{6}(x^{2})^{6-k}({\frac {4}{y^{3}}})^{k}\\&=C_{k}^{6}x^{12-2k}{\frac {4^{k}}{y^{3k}}}\\{\frac {x^{4}}{y^{12}}}&=x^{12-2k}{\frac {4^{k}}{y^{3k}}}\\4&=12-2k\\2k&=8\\k&=4\\&=C_{4}^{6}x^{12-2(4)}{\frac {4^{4}}{y^{3(4)}}}\\&={\frac {6!}{4!\cdot 2!}}x^{4}{\frac {4^{4}}{y^{12}}}\\&={\frac {6\cdot 5\cdot 4!}{4!\cdot 2\cdot 1}}x^{4}{\frac {4^{4}}{y^{12}}}\\&={\frac {3.840x^{4}}{y^{12}}}\\\end{aligned}}$$

Hasil koefisien ${\frac {x^{4}}{y^{12}}}$ adalah 3.840

1. Berapa hasil koefisien ${\frac {1}{x^{29}}}$ dari hasil penjabaran $(x^{2}+{\frac {3}{x^{5}}})^{10}$!

jawaban

Kombinasi perkalian suku yang mungkin untuk

x¹⁰ adalah $(x^{2})^{p}(x^{-5})^{q}$ adalah p+q = 10. Persamaan eksponen $(x^{2})^{p}(x^{-5})^{q}=x^{-29}$ mengimplikasikan bahwa 2p-5q=-29. Selesaikan dan kita akan memperoleh p=3 dan q=7. Karena q=7, suku yang dimaksud merupakan suku ke-(7+1)=8. Dalam hal ini, kita memilih q (dan bukan p) karena q merupakan eksponen b dari bentuk (a+b)ⁿ yang langsung menunjukkan suku mana penjabaran itu didapat.

Jawaban

$${\begin{aligned}&=C_{k}^{n}(a)^{n-k}(b)^{k}\\&=C_{7}^{10}(x^{2})^{10-7}({\frac {3}{x^{5}}})^{7}\\&=C_{7}^{10}x^{6}{\frac {3^{7}}{x^{35}}}\\&={\frac {10!}{7!\cdot 3!}}{\frac {3^{7}}{x^{29}}}\\&={\frac {10\cdot 9\cdot 8\cdot 7!}{7!\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}{\frac {3^{7}}{x^{29}}}\\&={\frac {262.440}{x^{29}}}\\\end{aligned}}$$

Hasil koefisien ${\frac {1}{x^{29}}}$ adalah 262.440

1. Berapa hasil konstanta dari hasil penjabaran $(3x^{3}+{\frac {1}{x^{5}}})^{8}$!

Nilai konstanta berarti variabel berpangkat nol jadi yaitu x⁰. Kombinasi perkalian suku yang mungkin untuk x⁸ adalah $(3x^{3})^{p}(x^{-5})^{q}$ adalah p+q = 8. Persamaan eksponen $(3x^{3})^{p}(x^{-5})^{q}=x^{0}$ mengimplikasikan bahwa 3p-5q=0. Selesaikan dan kita akan memperoleh p=5 dan q=3. Karena q=3, suku yang dimaksud merupakan suku ke-(3+1)=4. Dalam hal ini, kita memilih q (dan bukan p) karena q merupakan eksponen b dari bentuk (a+b)ⁿ yang langsung menunjukkan suku mana penjabaran itu didapat.

Jawaban

$${\begin{aligned}&=C_{k}^{n}(a)^{n-k}(b)^{k}\\&=C_{3}^{8}(3x^{3})^{8-3}({\frac {1}{x^{5}}})^{3}\\&=C_{3}^{8}3^{5}x^{15}{\frac {1}{x^{15}}}\\&={\frac {8!}{3!\cdot 5!}}405\\&={\frac {8\cdot 7\cdot 6\cdot 5!}{3\cdot 2\cdot 1\cdot 5!}}405\\&=22.680\\\end{aligned}}$$

Hasil konstanta adalah 22.680

Permutasi

berulangan

rumus: $P_{r}^{n}=n^{r}$

contoh soal

1. Berapa banyak cara terambilnya 3 huruf yang terdiri dari A, B, C dan D??

Jawaban

$${\begin{aligned}P_{3}^{4}=4^{3}=64{\text{ cara}}\\\end{aligned}}$$

1. Ada lima kotak kosong yang tersedia. Kelima kotak kosong itu harus diisi (tidak boleh ada yang kosong). Kelima kotak kosong itu hanya boleh diisi dengan angka 1,2,3,4,5. Ada berapa banyak cara untuk mengisi kotak kosong?

Jawaban

$${\begin{aligned}5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=120{\text{ cara}}\\\end{aligned}}$$

1. Angka-angka terdiri atas 0, 9, 8, 7, 6, 5. Ada berapa banyak cara jika

• enam angka yang berbeda tersusun?
• enam angka yang berbeda tersusun jika angka pertama tidak boleh nol?
• tiga angka yang berbeda tersusun?
• tiga angka yang berbeda tersusun jika angka pertama tidak boleh nol?
• tiga angka yang sama yang lebih dari 780?
• tiga angka yang berbeda yang lebih dari 780?

Jawaban

$${\begin{aligned}*6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1&=720{\text{ cara}}\\*5\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1&=600{\text{ cara}}\\*6\cdot 5\cdot 4&=120{\text{ cara}}\\*5\cdot 5\cdot 4&=100{\text{ cara}}\\*1\cdot 1\cdot 5+1\cdot 1\cdot 6+2\cdot 6\cdot 6&=5+6+72=83{\text{ cara}}\\*1\cdot 1\cdot 4+1\cdot 1\cdot 4+2\cdot 5\cdot 4&=4+4+40=48{\text{ cara}}\\\end{aligned}}$$

tanpa berulangan

rumus: $P_{r}^{n}={\frac {n!}{(n-r)!}}$

contoh soal

1. Di dalam kelas mengadakan pemilihan ketua, wakil ketua dan sekretaris dimana kelas terdiri dari 5 murid laki-laki dan 5 murid perempuan. Ada berapa banyak carakah jika

• jabatan tersebut dipilih?
• jabatan tersebut dipilih jika murid perempuan tersebut menjadi ketua?

Jawaban

$${\begin{aligned}*{\text{cara 1 }}\\P_{3}^{10}={\frac {10!}{(10-3)!}}={\frac {10!}{7!}}={\frac {10\cdot 9\cdot 8\cdot 7!}{7!}}=720{\text{ cara}}\\{\text{cara 2 }}\\{\text{jika ketua 10 maka wakil ketua 9 dan sekretaris 8 jadi }}10\times 9\times 8=720{\text{ cara}}\\*{\text{cara 1 }}\\P_{1}^{5}\times P_{2}^{9}={\frac {5!}{(5-1)!}}\times {\frac {9!}{(9-2)!}}={\frac {5!}{4!}}\times {\frac {9!}{7!}}={\frac {5\cdot 4!}{4!}}\times {\frac {9\cdot 8\cdot 7!}{7!}}=5\times 72=360{\text{ cara}}\\{\text{cara 2 }}\\{\text{jika ketua 5 maka wakil ketua 9 dan sekretaris 8 jadi }}5\times 9\times 8=360{\text{ cara}}\\\end{aligned}}$$

1. Ada 7 jalan kaki dari kota A ke kota B dan 5 jalan kaki dari kota B dan C. Ada berapa banyak carakah seseorang dapat melakukan perjalanan menggunakan jalan kaki jika:

• dari kota A ke kota C melalui kota B
• pergi-pulang dari kota A ke kota C melalui kota B
• pergi-pulang dari kota A ke kota C melalui kota B jika ia tidak menggunakan jalan kaki yang sama lebih dari sekali

Jawaban

$${\begin{aligned}*7\cdot 5=35{\text{ cara}}\\*7\cdot 5\cdot 5\cdot 7=1,225{\text{ cara}}\\*7\cdot 5\cdot 4\cdot 6=840{\text{ cara}}\\\end{aligned}}$$

Kombinasi

berulangan

rumus: $C_{r}^{n}={\frac {(n+r-1)!}{r!(n-1)!}}$

contoh soal

1. Kamu pergi ke sebuah toko donat. Toko donat itu menyediakan 10 jenis donat berbeda. Berapa banyak cara jika kamu ingin membeli tiga donat?

Jawaban

$${\begin{aligned}C_{3}^{10}={\frac {(10+3-1)!}{3!(10-1)!}}={\frac {12!}{3!9!}}{\frac {12\cdot 11\cdot 10\cdot 9!}{3!9!}}=220{\text{ cara}}\\\end{aligned}}$$

tanpa berulangan

rumus: $C_{r}^{n}={\frac {n!}{r!(n-r)!}}$

contoh soal

1. Kamu mempunyai 5 pensil dengan warna yang berbeda yaitu; merah, kuning, hijau, biru dan ungu. Kamu ingin membawanya ke sekolah. Tapi kamu hanya boleh membawa dua warna pensil. Ada berapa banyak cara untuk mengkombinasikan warna pensil yang ada?

Jawaban

$${\begin{aligned}C_{2}^{5}={\frac {5!}{2!(5-2)!}}={\frac {5!}{2!3!}}={\frac {5\cdot 4\cdot 3!}{2!3!}}=10{\text{ cara}}\\\end{aligned}}$$

1. Kamu mempunyai 2 warna pensil merah, 3 kuning dan 4 hijau. Kamu ingin membawanya ke sekolah. Tapi kamu hanya boleh membawa tiga warna pensil. Ada berapa banyak cara terambil jika

• semua warna pensilnya?
• semua warna pensilnya adalah hijau?
• salah satu warna pensilnya adalah hijau?

Jawaban

$${\begin{aligned}*C_{3}^{9}={\frac {9!}{3!(9-3)!}}={\frac {9!}{3!6!}}={\frac {9\cdot 8\cdot 7\cdot 6!}{3!6!}}=84{\text{ cara}}\\*C_{3}^{4}={\frac {4!}{3!(4-3)!}}={\frac {4!}{3!1!}}={\frac {4\times 3!}{3!1!}}=4{\text{ cara}}\\*C_{1}^{4}\times C_{2}^{5}={\frac {4!}{1!(4-1)!}}\times {\frac {5!}{2!(5-2)!}}={\frac {4!}{1!3!}}\times {\frac {5!}{2!3!}}={\frac {4\times 3!}{1!3!}}\times {\frac {5\times 4\times 3!}{2!3!}}=4\times 10=40{\text{ cara}}\\\end{aligned}}$$

1. Tuti mempunyai 3 kelereng putih, 2 kelereng cokelat dan 5 kelereng biru. Ada berapa banyak cara jika

• memiliki 3 kelereng?
• hanya memiliki 1 kelereng putih dan 2 kelereng biru?

Jawaban

$${\begin{aligned}*C_{3}^{10}={\frac {10!}{3!(10-3)!}}={\frac {10!}{3!7!}}={\frac {10\times 9\times 8\times 7!}{3!7!}}=120{\text{ cara}}\\*C_{1}^{3}\times C_{2}^{5}={\frac {3!}{1!(3-1)!}}\times {\frac {5!}{2!(5-2)!}}={\frac {3!}{1!2!}}\times {\frac {5!}{2!3!}}={\frac {3\times 2!}{1!2!}}\times {\frac {5\times 4\times 3!}{2!3!}}=3\times 10\\=30{\text{ cara}}\\\end{aligned}}$$

1. Di dalam suatu laci terdapat tujuh pasang kaos kaki yang pasangnya berbeda dengan pasangan lainnya. Diambil lima kaos kaki sekaligus secara acak. Berapa banyaknya cara pengambilan di antara yang terambil terdapat tepat sepasang kaos kaki yang berpasangan (cocok)?

Jawaban

$${\begin{aligned}{\text{7 pasang kaos kaki berbeda = 14 kaos kaki. }}\\{\text{diambil 5 kaos kaki sekaligus. }}\\{\text{terdapat tepat 1 pasang }}&=C_{1}^{7}=7\\{\text{3 kaos kaki diambil dari 6 }}&=C_{3}^{6}=20\\{\text{jenis kaos kaki kanan/kiri }}&=2^{3}=8\\{\text{banyaknya cara pengambilan }}7\times 20\times 8=1.120{\text{ cara }}\\\end{aligned}}$$

Jenis-jenis permutasi

jenis-jenis permutasi yaitu

• Permutasi-k dari n benda

$P_{k}^{n}={\frac {n!}{(n-k)!}}$

• permutasi identik

$P_{k1,k2,\dots ,kt}^{n}={\frac {n!}{k1!k2!\dots kt!}}$

contoh soal

1. Berapa banyak kata yang terbentuk dari kata “KAKAO"?

Jawaban

$${\begin{aligned}{\frac {5!}{2!2!}}={\frac {5\cdot 4\cdot 3\cdot 2!}{2!2!}}=30{\text{ cara}}\\\end{aligned}}$$

1. Ada tiga warna bendera yaitu 4 buah merah, 2 putih dan 5 biru. Berapa banyak cara jika:

• Bebas
• 2 bendera putih harus ditengah

Jawaban

$${\begin{aligned}*{\frac {11!}{{4!}{2!}{5!}}}&=6,930{\text{ cara}}\\*{\frac {{2!}{9!}}{{4!}{2!}{5!}}}&=126{\text{ cara}}\\\end{aligned}}$$

• permutasi elemen

$P_{n}^{n}=n!$

1. Ada berapa cara bila 6 orang remaja menempati tempat duduk yang akan disusun dalam suatu susunan yang teratur (sejajar) jika:

• Posisi bebas
• Dua orang harus berdampingan
• Hanya dua orang diundang

Jawaban

$${\begin{aligned}*6!&=720{\text{ cara}}\\*2!\cdot ((6-2)+1)!&=2!\cdot (4+1)!=2\cdot 5!=240{\text{ cara}}\\*P_{2}^{6}={\frac {6!}{(6-2)!}}&={\frac {6!}{4!}}={\frac {6\cdot 5\cdot 4!}{4!}}=30{\text{ cara}}\\\end{aligned}}$$

1. Ada 4 pria dan 4 wanita sedang berdiri. Ada berapa cara jika:

• Bebas
• Hanya pria berdampingan
• Pria dan wanita harus berdampingan
• Pria dan wanita harus selang seling

Jawaban

$${\begin{aligned}*8!&=40,320{\text{ cara}}\\*4!\cdot ((8-4)+1)!&=4!\cdot (4+1)!=2,880{\text{ cara}}\\*4!\cdot 4!\cdot (0+2)!&=1,152{\text{ cara}}\\*4!\cdot 4!\cdot 2&=1,152{\text{ cara}}\\\end{aligned}}$$

1. Ada 4 pria dan 3 wanita sedang berdiri. Ada berapa cara jika:

• Bebas
• Hanya pria berdampingan

Jawaban

$${\begin{aligned}*7!&=5,040{\text{ cara}}\\*4!\cdot ((7-4)+1)!&=4!\cdot (3+1)!=48{\text{ cara}}\\\end{aligned}}$$

1. Saya memiliki 5 buku kimia, 3 buku matematika, dan 2 buku fisika yang masing-masing buku berbeda satu sama lain. Buku-buku tersebut akan saya susun dalam sebuah rak buku. Berapa banyak cara penyusunan yang mungkin saya lakukan jika:

• Bebas
• Hanya kimia berkelompok
• Semua berkelompok masing-masing

Jawaban

$${\begin{aligned}*10!&=3,628,800{\text{ cara}}\\*5!\cdot ((3+2)+1)!&=86,400{\text{ cara}}\\*5!\cdot 3!\cdot 2!\cdot (0+3)!&=8,640{\text{ cara}}\\\end{aligned}}$$

• permutasi siklis

$P=(n-1)!$

contoh soal

1. Sekelompok mahasiswa yang terdiri dari 10 orang akan mengadakan rapat dan duduk mengelilingi sebuah meja, ada berapa carakah sepuluh mahasiswa tersebut dapat diatur pada sekeliling meja (melingkar) tersebut jika:

• Posisi bebas
• Dua orang harus berdampingan
• Hanya dua orang diundang

Jawaban

$${\begin{aligned}*(10-1)!&=362,880{\text{ cara}}\\*2!\cdot (((10-2)-1)+1)!&=2!\cdot ((8-1)+1)!=80,640{\text{ cara}}\\*P_{2}^{(10-1)}=P_{2}^{9}&={\frac {9!}{(9-2)!}}={\frac {9!}{7!}}={\frac {9\cdot 8\cdot 7!}{7!}}=72{\text{ cara}}\\\end{aligned}}$$

tambahan dari kombinasi

1. Ada berapa cara 100 orang bersalaman sebanyak satu kali?

Jawaban

$${\begin{aligned}*C_{2}^{100}={\frac {100!}{2!\times (100-2)!}}&={\frac {100!}{2!\times 98!}}\\&={\frac {100\times 99\times 98!}{2\times 1\times 98!}}\\&={\frac {100\times 99}{2}}\\&=50\times 99\\&=4,950{\text{ cara}}\\\end{aligned}}$$

atau

• ${\frac {100\times (100-1)}{2}}=4,950{\text{ cara}}$

1. Berapa banyak diagonal pada dekagon?

Jawaban

$${\begin{aligned}*C_{2}^{10}-10={\frac {10!}{2!\times (10-2)!}}-10&={\frac {10!}{2!\times 8!}}-10\\&={\frac {10\times 9\times 8!}{2\times 1\times 8!}}-10\\&={\frac {10\times 9}{2}}-10\\&=5\times 9-10\\&=45-10\\&=35{\text{ cara}}\\\end{aligned}}$$

atau

• ${\frac {10\times (10-3)}{2}}=35{\text{ cara}}$