Soal-Soal Matematika/Polinomial

Rumus

• $f(x)=P(x)\cdot H(x)+s(x)$
• ${\text{ Yang dibagi (YD) = Pembagi (P) x Hasil bagi (HB) + Sisa (S) }}$

Untuk mengetahui hasil bagi dan sisa yakni:

• Metode pembagian bersusun
• Metode horner
• Koefisien tak tentu

1. Berapa hasil bagi dan sisa dari $x^{2}+3x-6$ dibagi x - 4!

• Metode pembagian bersusun

Jawaban

$${\begin{aligned}&x+7\\&x-4|x^{2}+3x-6\\&x^{2}-4x\\&7x-6\\&7x-28\\&22\\\end{aligned}}$$

Jadi hasil bagi adalah x + 7 dan sisa 22

• Metode horner

Jawaban

$${\begin{aligned}&4&|&1&3&-6\\&&0&4&28\\&&1&7&22\\\end{aligned}}$$

Jadi hasil bagi adalah x + 7 dan sisa 22

• Koefisien tak tentu

Untuk soal di atas, karena F(x) berderajat 3 dan P(x) berderajat 2, maka

H(x) berderajat 2 – 1 = 1

S(x) berderajat 1 – 1 = 0

Jadi, misalkan H(x) = ax + b dan S(x) = c

Jawaban

$${\begin{aligned}&x^{2}+3x-6&=(x-4)(ax+b)+c\\&x^{2}+3x-6&=ax^{2}-4ax+bx-4b+c\\&x^{2}+3x-6&=ax^{2}+(-4a+b)x-(4b-c)\\&a&=1\\&-4a+b&=3\\&-4(1)+b&=3\\&-4+b&=3\\&b&=7\\&6&=4b-c\\&6&=4(7)-c\\&6&=28-c\\&c&=-22\\\end{aligned}}$$

Jadi hasil bagi adalah x + 7 dan sisa 22

Jika hasil bagi adalah bilangan pecahan maka ada dua jenis yang ditentukan sebagai berikut:

posisi suku banyak tidak berubah maka hasil bagi harus dibagi konstanta dari faktor hasilnya. Contoh

Berapa hasil dan sisa dari F(x): $2x^{3}+19x^{2}+33x-26$ dibagi dengan P(x): $2x^{2}+5x-3$?

Pilihan A

misalkan P: $2x^{2}+5x-3=(x+3)(2x-1)$ maka:

P1: $x+3=0->x=-3$

P2: $2x-1=0->x={\frac {1}{2}}$

-3	2	19	33	-26
	0	-6	-39	18
1/2	2	13	-6	-8 (S1)
	0	1	7
	2	14	1 (S2)

H(x) = $2x+14$ harus bagi 1/2 menjadi $x+7$

S(x) = P1.S2 + S1 = $(x+3)\cdot 1+(-8)=x-5$

Pilihan B

misalkan P: $2x^{2}+5x-3=(x+3)(2x-1)$ maka:

P1: $2x-1=0->x={\frac {1}{2}}$

P2: $x+3=0->x=-3$

1/2	2	19	33	-26
	0	1	10	43/2
-3	2	20	43	-9/2 (S1)
	0	-6	-42
	2	14	1 (S2)

H(x) = $2x+14$ harus bagi 1/2 menjadi $x+7$

S(x) = P1 S2 + S1 = $(x-{\frac {1}{2}})\cdot 1+(-{\frac {9}{2}})=x-{\frac {10}{2}}=x-5$

posisi suku banyak dibagi konstanta dari variabel berpangkat tinggi maka sisa harus dikali konstanta dari faktor hasilnya. Contoh

Berapa hasil dan sisa dari F(x): $2x^{3}+19x^{2}+33x-26$ dibagi dengan P(x): $2x^{2}+5x-3$?

Pilihan A

misalkan P: $2x^{2}+5x-3=(x+3)(2x-1)$ maka:

P1: $x+3=0->x=-3$

P2: $2x-1=0->x={\frac {1}{2}}$

$2x^{3}+19x^{2}+33x-26$ dibagi 1/2 menjadi $x^{3}+{\frac {19}{2}}x^{2}+{\frac {33}{2}}x-13$

-3	1	19/2	33/2	-13
	0	-3	-39/2	9
1/2	1	13/2	-3	-4 (S1)
	0	1/2	7/2
	1	7	1/2 (S2)

H(x) = $x+7$

S(x) = P1.S2 + S1 = $(x+3)\cdot {\frac {1}{2}}+(-4)={\frac {1}{2}}x+{\frac {3}{2}}-4={\frac {1}{2}}x-{\frac {5}{2}}$ harus kali 2 menjadi $x-5$

Pilihan B

misalkan P: $2x^{2}+5x-3=(x+3)(2x-1)$ maka:

P1: $2x-1=0->x={\frac {1}{2}}$

P2: $x+3=0->x=-3$

$2x^{3}+19x^{2}+33x-26$ dibagi 1/2 menjadi $x^{3}+{\frac {19}{2}}x^{2}+{\frac {33}{2}}x-13$

1/2	1	19/2	33/2	-13
	0	1/2	5	43/4
-3	1	10	43/2	-9/4 (S1)
	0	-3	-21
	1	7	1/2 (S2)

H(x) = $x+7$

S(x) = P1.S2 + S1 = $(x-{\frac {1}{2}})\cdot {\frac {1}{2}}+(-{\frac {9}{4}})={\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{4}}-{\frac {9}{4}}={\frac {1}{2}}x-{\frac {10}{4}}={\frac {1}{2}}x-{\frac {5}{2}}$ harus kali 2 menjadi $x-5$

Teorema

Teorema terdiri dari dua yakni teorema sisa dan teorema faktor.

Teorema sisa

Jika suku banyak F(x) berderajat n dibagi oleh (x – k) maka sisanya adalah F(k).

Jika suku banyak F(x) berderajat n dibagi oleh (ax – b) maka sisanya adalah F(b/a).

Jika suku banyak F(x) berderajat n dibagi oleh (x – a)(x - b) maka sisanya adalah ${\frac {F(a)-F(b)}{a-b}}x+{\frac {aF(b)-bF(a)}{a-b}}$.

1. Berapa sisa dari $x^{2}+3x-6$ dibagi x - 4!

f(4) = 4² + 3(4) - 6 = 16 + 12 - 6 = 22

2. Jika f(x) dibagi oleh x²-2x dan x ²−3x masing-masing mempunyai sisa 2x+1 dan 5x+2, maka berapa sisanya jika f(x) dibagi x²−5x+6?

$f(x)=P(x)\cdot H(x)+s(x)$

$f(x)=x^{2}-5x+6+ax+b$

$f(x)=(x-2)(x-3)+ax+b$

$f(x)=P(x)\cdot (x^{2}-2x)+2x+1$

$f(x)=P(x)\cdot x(x-2)+2x+1$

Bila x = 0 maka

$f(x)=P(x)\cdot x(x-2)+2x+1$

$f(0)=P(x)\cdot 0(-2)+1$

f(0) = 1

Bila x = 2 maka

$f(x)=P(x)\cdot x(x-2)+2x+1$

$f(2)=P(x)\cdot 2(0)+5$

f(2) = 5

$f(x)=P(x)\cdot (x^{2}-3x)+5x+2$

$f(x)=P(x)\cdot x(x-3)+5x+2$

Bila x = 0 maka

$f(x)=P(x)\cdot x(x-3)+5x+2$

$f(0)=P(x)\cdot 0(-3)+2$

f(0) = 2

Bila x = 3 maka

$f(x)=P(x)\cdot x(x-3)+5x+2$

$f(3)=P(x)\cdot 3(0)+17$

f(3) = 17

$f(x)=(x-2)(x-3)+ax+b$

$f(3)=(3-2)(3-3)+3a+b$

$f(3)=1(0)+3a+b$

$17=1(0)+3a+b$

$3a+b=17$ .... (1)

$f(x)=(x-2)(x-3)+ax+b$

$f(2)=(2-2)(2-3)+2a+b$

$f(2)=0(-1)+2a+b$

$5=0(-1)+2a+b$

$2a+b=5$ .... (2)

Dari persamaan 1 dan 2 adalah a = 12 dan b = -19.

Jadi sisanya adalah 12x-19.

3. Diketahui suku banyak f(x+1) dibagi x²+2x mempunyai sisa 2x-5 dan f(x-1) dibagi x²+x mempunyai sisa x-9, Jika sisa pembagian f(x) oleh x²+x-2 adalah s(x) maka berapa nilai s(4)?

$f(x)=P(x)\cdot H(x)+s(x)$

$f(x)=x^{2}+x-2+ax+b$

$f(x)=(x+2)(x-1)+ax+b$

$f(x+1)=P(x)\cdot (x^{2}+2x)+2x-5$

$f(x+1)=P(x)\cdot x(x+2)+2x-5$

Bila x = 0 maka

$f(x+1)=P(x)\cdot x(x+2)+2x-5$

$f(1)=P(x)\cdot 0(2)-5$

f(1) = -5

Bila x = -2 maka

$f(x+1)=P(x)\cdot x(x+2)+2x-5$

$f(-1)=P(x)\cdot -2(0)-9$

f(-1) = -9

$f(x-1)=P(x)\cdot (x^{2}+x)+x-9$

$f(x-1)=P(x)\cdot x(x+1)+x-9$

Bila x = 0 maka

$f(x-1)=P(x)\cdot x(x+1)+x-9$

$f(-1)=P(x)\cdot 0(1)-9$

f(-1) = -9

Bila x = -1 maka

$f(x-1)=P(x)\cdot x(x-1)+x-9$

$f(-2)=P(x)\cdot -1(0)-10$

f(-2) = -10

$f(x)=(x+2)(x-1)+ax+b$

$f(-2)=(-2+2)(-2-1)-2a+b$

$f(-2)=0(-3)-2a+b$

$-10=0(-3)-2a+b$

$-2a+b=-10$ .... (1)

$f(x)=(x+2)(x-1)+ax+b$

$f(1)=(1+2)(1-1)+a+b$

$f(1)=3(0)+a+b$

$-5=3(0)+a+b$

$a+b=-5$ .... (2)

Dari persamaan 1 dan 2 adalah a = 5/3 dan b = -20/3 maka sisanya adalah 5x/3-20/3.

Nilai untuk 4 dari 5x/3-20/3 adalah 0.

4. Berapa sisa jika 1! + 2! + 3! + 4! + ...... + 50! dibagi 12?

Diketahui setelah 3!, 4! + 5! + 6! + .... + 50! dapat dibagi 12 karena 4 x 3. Jadi hanya kita hitung 1! + 2! + 3! saja. Hasil dari 1! + 2! + 3! adalah 9. 9 tidak habis dibagi 12 bersisa 9. Jadi sisa adalah 9.

5. Sebuah bilangan dibagi 2 dibagi 3 dibagi 4 dibagi 5 sisa 1. maka berapa nilai bilangan tersebut?

Digunakan KPK dari 2, 3, 4 dan 5 adalah 60 lalu ditambahkan 1 menjadi 61. Maka bilangan itu adalah 61.

6. Sebuah bilangan dibagi 3 dibagi 6 dibagi 8 dibagi 9 sisa 2. maka berapa nilai bilangan tersebut?

Digunakan KPK dari 3, 6, 8 dan 9 adalah 72 lalu ditambahkan 2 menjadi 74. Maka bilangan itu adalah 74.

Teorema faktor

Suatu suku banyak F(x) mempunyai faktor (x – k) jika F(k) = 0 (sisanya jika dibagi dengan (x – k) adalah 0)

Catatan: jika (x – k) adalah faktor dari F(x) maka k dikatakan sebagai akar dari F(x)

Beberapa memungkinkan yang diketahui:

• Jika jumlah koefisien suku banyak = 0, maka pasti salah satu akarnya adalah x = 1.
• Jika jumlah koefisien suku di posisi genap = jumlah koefisien suku di posisi ganjil, maka pasti salah satu akarnya adalah x = -1.
• Untuk mencari akar suatu suku banyak dengan cara Horner, dapat dilakukan dengan mencoba-coba dengan angka dari faktor-faktor konstanta dibagi faktor-faktor koefisien pangkat tertinggi yang akan memberikan sisa = 0. Contohnya:

untuk $x^{3}-2x^{2}-x+2=0$, faktor-faktor konstantanya: ±1, ±2, faktor-faktor koefisien pangkat tertinggi: ±1. Sehingga, angka-angka yang perlu dicoba: ±1 dan ±2

untuk $4x^{3}-2x^{2}-x+2=0$, faktor-faktor konstantanya: ±1, ±2, faktor-faktor koefisien pangkat tertinggi: ±1, ±2, ±4. Sehingga, angka-angka yang perlu dicoba: ±1, ±2, ±1/2, ±1/4

1. Salah satu faktor dari $x^{3}+4x^{2}-11x-30$ adalah 3 maka berapa nilai faktor lainnya?

Jawaban

$${\begin{aligned}&3&|&1&4&-11&-30\\&&0&3&21&30\\&&1&7&10&0\\&x^{2}+7x+10&=0\\&(x+2)(x+5)&=0\\&x&=-2\lor x=-5\\\end{aligned}}$$

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari $x^{3}-2x^{2}-5x+6=0$!

apakah salah satu akarnya adalah 1? $(1)^{3}-2(1)^{2}-5(1)+6=1-2-5+6=0$

Ya

faktorkan tersebut

1	1	-2	-5	6
	0	1	-1	-6
	1	-1	-6	0

$x^{3}-2x^{2}-5x+6=0$

$(x-1)(x^{2}-x-6)=0$

$(x-1)(x-3)(x+2)=0$

$x_{1}=1\lor x_{2}=3\lor x_{3}=-2$

jadi himpunan penyelesaian adalah {-2, 1, 3}

Sifat akar

Pada persamaan berderajat 3: ax3 + bx2 + cx + d = 0 akan mempunyai akar-akar x1, x2, x3

dengan sifat-sifat:

Jumlah 1 akar: x1 + x2 + x3 = – b/a

Jumlah 2 akar: x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 = c/a

Hasil kali 3 akar: x1.x2.x3 = – d/a

Pada persamaan berderajat 4: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 akan mempunyai akar-akar x1, x2, x3, x4

dengan sifat-sifat:

Jumlah 1 akar: x1 + x2 + x3 + x4 = – b/a

Jumlah 2 akar: x1.x2 + x1.x3 + x1.x4 + x2.x3 + x2.x4 + x3.x4 = c/a

Jumlah 3 akar: x1.x2.x3 + x1.x2.x4 + x2.x3.x4 = – d/a

Hasil kali 4 akar: x1.x2.x3.x4 = e/a

Dari kedua persamaan tersebut, kita dapat menurunkan rumus yang sama untuk persamaan berderajat 5 dan seterusnya. (amati pola: –b/a, c/a, –d/a, e/a, …)

Contoh:

Diberikan persamaan $x^{3}-3x^{2}-10x+p=0$ dengan akar-akarnya x1, x2 x3. Jika 2x1 = -x2-x3. Carilah nilai p dan akar-akarnya!

$2x_{1}=-x_{2}-x_{3}=-(x_{2}+x_{3})$

$x_{1}+x_{2}+x_{3}=-{\frac {b}{a}}$

$x_{1}-2x_{1}=-{\frac {b}{a}}$

$-x_{1}=-{\frac {-3}{1}}$

$x_{1}=-3$

$x^{3}-3x^{2}-10x+p=0$

$(-3)^{3}-3(-3)^{2}-10(-3)+p=0$

$-27-27+30+p=0$

$p=24$

$x^{3}-3x^{2}-10x+24=0$

-3	1	-3	-10	24
	0	-3	18	-24
	1	-6	8	0

$x^{3}-3x^{2}-10x+24=0$

$(x+3)(x^{2}-6x+8)=0$

$(x+3)(x-2)(x-4)=0$

$x_{1}=-3\lor x_{2}=2\lor x_{3}=4$

Pembagian istimewa

Ada 3 jenis yaitu:

• Jika n adalah bilangan asli maka:

${\frac {a^{n}-b^{n}}{a-b}}=a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+....+a^{2}b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1}$

• Jika 2n adalah bilangan genap maka:

${\frac {a^{2n}-b^{2n}}{a+b}}=a^{2n-1}-a^{2n-2}b+a^{2n-3}b^{2}-....-a^{2}b^{2n-3}+ab^{2n-2}-b^{2n-1}$

• Jika 2n + 1 adalah bilangan ganjil maka:

${\frac {a^{2n+1}+b^{2n+1}}{a+b}}=a^{2n}-a^{2n-1}b+a^{2n-2}b^{2}-....+a^{2}b^{2n-2}-ab^{2n-1}+b^{2n}$

Modulus (mod)

Sifat modulus

1. (a + b) mod n = (a mod n + b mod n) mod n
2. ab mod n = (a mod n x b mod n) mod n
3. a^b mod n = ((a mod n)^b) mod n
4. a = b (mod n) ↔ a mod n = b mod n
5. Mencari digit terakhir pada sebuah operasi matematika dengan menggunakan basis mod 10
6. Teorema euler

$a^{b}{\text{ mod }}n=a^{b{\text{ mod }}\pi (n)}{\text{ mod }}n$ dengan syarat:

Didahului sifat nomor 3

p₁, p₂, dst adalah faktor prima dari n

$\pi (n)=n\times {\frac {p_{1}-1}{p_{1}}}\times {\frac {p_{2}-1}{p_{2}}}\times \dots \times {\frac {p_{k}-1}{p_{k}}}$

1. Teorema wilson

(p - 1)! = -1 mod p

(p - 3)! = ${\frac {p-1}{2}}$ mod p

p adalah bilangan prima

contoh soal

1. Berapa hasil sisa dari
   1. 34 dibagi 5
   2. 12³ dibagi 7
   3. 200 dibagi 13
   4. 19⁵ dibagi 9

jawaban:

Jawaban

$${\begin{aligned}*34{\text{ mod }}5&=(5\times 6+4){\text{ mod }}5\\&=4{\text{ mod }}5\\&=4\\*12^{3}{\text{ mod }}7&=(12{\text{ mod }}7)^{3}{\text{ mod }}7\\&=5^{3}{\text{ mod }}7\\&=5^{(3{\text{ mod }}\pi (7))}{\text{ mod }}7\\&=5^{(3{\text{ mod }}6)}{\text{ mod }}7\\&=5^{3}{\text{ mod }}7\\&=125{\text{ mod }}7\\&=6\\*200{\text{ mod }}13&=(13\times 15+5){\text{ mod }}13\\&=5{\text{ mod }}13\\&=5\\*19^{5}{\text{ mod }}9&=(19{\text{ mod }}9)^{5}{\text{ mod }}9\\&=1^{5}{\text{ mod }}9\\&=1^{(5{\text{ mod }}\pi (9))}{\text{ mod }}9\\&=1^{(5{\text{ mod }}6)}{\text{ mod }}9\\&=1^{5}{\text{ mod }}9\\&=1{\text{ mod }}9\\&=1\\\end{aligned}}$$

Mencari bilangan

${\frac {S(k\cdot P+1)}{P}}=k\cdot S+{\frac {S}{P}}$

Keterangan

S = Hasil sisa

k = bilangan bulat

P = Pembagi