Soal-Soal Matematika/Program linear

bentuk

f(x,y): ax + by. syarat:

nilai maksimum	nilai minimum
c1+d1 ≤ k1	c1+d1 ≥ k1
c2+d2 ≤ k2	c2+d2 ≥ k2
x ≥ 0	x ≤ 0
y ≥ 0	y ≤ 0

dengan a, b, c dan d adalah koefisien serta k adalah konstanta.

terdiri atas 2 metode yaitu metode uji titik pojok dan mrtode garis selidik.

contoh

1. Berapakah nilai maksimum 23x + 38y yang bisa dipenuhi pertidaksamaan x + y < 4, x + 2y < 7, x > 0 serta y > 0?

Jawaban

Kita cari titik-titik dari keempat persamaan yaitu (0,0), (0,7/2), (0,4), (1,3), (4,0) serta (7,0). Untuk mencari (1,3) kita dapat kedua persamaan yaitu x + y < 4 serta x + 2y < 7. Lalu buat gambar grafik kemudian didapatkan keempat titik-titik yaitu (0,0), (0,7/2), (1,3) serta (4,0)

Hasil keuntungan

Titik	Koordinat	f(x,y) = 23x + 38y
O	(0,0)	23(0) + 38(0) = 0
A	(0,7/2)	23(0) + 38(7/2) = 133
B	(1,3)	23(1) + 38(3) = 137 (max)
C	(4,0)	23(4) + 38(0) = 92

Jadi nilai maksimum yang diperoleh 20x + 30y adalah 110

1. Sebuah adonan roti basah dibuat dengan 2 kg tepung dan 2 kg gula. Sedangkan sebuah adonan roti kering dibuat menggunakan 1 kg tepung dan 2 kg gula. Ibu memiliki persediaan tepung sebanyak 6 kg dan gula sebanyak 10 kg. Setiap satu adonan kue basah dapat memberikan untung Rp75.000,00 dan setiap adonan kue kering dapat memberikan untung Rp60.000,00. Berapakah banyak kombinasi adonan roti yang dapat dibuat untuk mendapatkan keuntungan maksimal?

Jawaban

Tabel adonan

adonan	tepung	gula
basah (x)	2	2
kering (y)	1	2
persediaan	6	10
model matematika	2x+y ≤ 6	2x+2y ≤ 0 x+y ≤ 5

sehingga menjadi

• x ≥ 0
• y ≥ 0
• 2x+y ≤ 6
• x+y ≤ 5

fungsi tujuan maksimal: f(x,y) = 75.000x + 60.000y

• metode uji titik pojok

memperoleh titik-titik O (0,0), A (0,5), B (x,y) serta C (3,0)

kita mencari titik B sebagai berikut:

$${\begin{aligned}2x+y&=6\\x+y&=5\\{\text{eliminasi kedua persamaan menjadi}}\\x&=1\\x+y&=5\\1+y&=5\\y&=4\\\end{aligned}}$$

jadi titik B (1,4)

Hasil keuntungan

Titik	Koordinat	Keuntungan (f(x,y) = 75.000x + 60.000y)
O	(0,0)	0 + 0 = 0
A	(0,5)	0 + 300.000 = 300.000
B	(1,4)	75.000 + 240.000 = 315.000 (max)
C	(3,0)	225.000 + 0 = 250.000

Jadi, nilai keuntungan maksimum yang dapat diperoleh adalah Rp315.000,00 dengan membuat 1 (satu) adonan roti basah dan 4 (empat) adonan roti kering.

• metode garis selidik

langkah-langkah sebagai berikut:

1. Menentukan daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan yang diberikan.
2. Menentukan persamaan garis selidik f(x,y) = ax + by = k, dengan k adalah bilangan real. Geser garis selidik yang telah dibuat pada langkah nomor 2 atau buatlah garis-garis lain yang sejajar dengan garis selidik yang telah dibuat ke arah daerah layak.
3. Jika titik (x1, y1) adalah titik pada daerah penyelesaian yang pertama dilalui oleh garis selidik maka nilai minimum diwakili oleh titik tersebut.
4. Jika titik (x2, y2) adalah titik pada daerah penyelesaian yang akhir dilalui oleh garis selidik maka nilai maksimum diwakili oleh titik tersebut.

k secara sembarang diambil yakni 600.000 maka f(x,y) = 75.000x + 60.000y = 600.000 = 5x + 4y = 40

buatlah gambar

maka didapat titik B (x,y) dan carilah nilai titik-titiknya

$${\begin{aligned}2x+y&=6\\x+y&=5\\{\text{eliminasi kedua persamaan menjadi}}\\x&=1\\x+y&=5\\1+y&=5\\y&=4\\\end{aligned}}$$

jadi titik B (1,4)

Hasil keuntungan

Titik	Koordinat	Keuntungan (f(x,y) = 75.000x + 60.000y)
O	(0,0)	0 + 0 = 0
A	(0,5)	0 + 300.000 = 300.000
B	(1,4)	75.000 + 240.000 = 315.000 (max)
C	(3,0)	225.000 + 0 = 250.000

Jadi, nilai keuntungan maksimum yang dapat diperoleh adalah Rp315.000,00 dengan membuat 1 (satu) adonan roti basah dan 4 (empat) adonan roti kering.