Soal-Soal Matematika/Statistika

jenis-jemis metode statistika berdasarkan ukuran ada dua yaitu pemusatan data dan penyebaran data

Jenis-jenis ukuran pemusatan data

Data tunggal

• Mean

merupakan rata-rata hitung

$${\bar {x}}={\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{n}}{n}}=\sum \limits _{i=0}^{n}{\frac {x_{i}}{n}}$$

• Median

merupakan nilai tengah setelah diurutkan

bila ganjil maka terambil di tengah setelah diurutkan. bila genap terambil dua di tengah dibagi rata-rata setelah diurutkan

$Me=x_{\frac {n+1}{2}}$ bila n ganjil

$Me={\frac {x_{\frac {n}{2}}+x_{({\frac {n}{2}}+1)}}{2}}$ bila n genap

• Modus

merupakan nilai yang paling sering muncul atau nilai yang mempunyai frekuensi tertinggi

terambil jumlahnya paling banyak setelah diurutkan

• Kuartil

merupakan membagi data menjadi empat bagian yang sama banyak

$Q_{i}={\frac {i(n+1)}{4}}$

terdiri dari tiga jenis yaitu kuartil bawah, tengah dan atas.

Kuartil	Ganjil		Genap
	n+1 tidak habis dibagi 4	n+1 habis dibagi 4	n tidak habis dibagi 4	n habis dibagi 4
Kuartil bawah (Q1)	${\frac {x_{\frac {n-1}{4}}+x_{({\frac {n-1}{4}}+1)}}{2}}$	$x_{\frac {n+1}{4}}$	$x_{\frac {n+2}{4}}$	${\frac {x_{\frac {n}{4}}+x_{({\frac {n}{4}}+1)}}{2}}$
Kuartil tengah (Q2)	$x_{\frac {n+1}{2}}$		${\frac {x_{\frac {n}{2}}+x_{({\frac {n}{2}}+1)}}{2}}$
Kuartil atas (Q3)	${\frac {x_{\frac {3n+1}{4}}+x_{({\frac {3n+1}{4}}+1)}}{2}}$	$x_{\frac {3(n+1)}{4}}$	$x_{\frac {3n+2}{4}}$	${\frac {x_{\frac {3n}{4}}+x_{({\frac {3n}{4}}+1)}}{2}}$

atau

Kuartil	Ganjil	Genap
Kuartil bawah (Q1)	${\frac {n+1}{4}}$	${\frac {n+2}{4}}$
Kuartil tengah (Q2)	${\frac {n+1}{2}}$	${\frac {X_{{\frac {n}{2}}+X_{({\frac {n}{2}}+1)}}}{2}}$
Kuartil atas (Q3)	${\frac {3\cdot (n+1)}{4}}$	${\frac {3n+2}{4}}$

• Desil

merupakan membagi data menjadi sepuluh bagian yang sama banyak

$D_{i}={\frac {i(n+1)}{10}}$

terdiri dari tiga jenis yaitu desil bawah, tengah dan atas. untuk menentukan rumusnya sama dengan tabel yang dibuat data kuartil.

• Persentil

merupakan membagi data menjadi seratus bagian yang sama banyak

$P_{i}={\frac {i(n+1)}{100}}$

terdiri dari tiga jenis yaitu presentil bawah, tengah dan atas. untuk menentukan rumusnya sama dengan tabel yang dibuat data kuartil.

Data berkelompok

Dalam data berkelompok terdiri dari tabel, diagram garis, diagram batang serta diagram lingkaran.

• Mean

${\bar {x}}={\frac {f_{1}x_{1}+f_{2}x_{2}+f_{3}x_{3}+\cdots +f_{n}x_{n}}{f_{1}+f_{2}+f_{3}+\cdots +f_{n}}}={\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}{f_{i}x_{i}}}{\sum \limits _{i=1}^{n}{f_{i}}}}$

${\bar {x}}={\bar {x_{s}}}+{\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}{f_{i}d_{i}}}{\sum \limits _{i=1}^{n}{f_{i}}}}$

${\bar {x}}={\bar {x_{s}}}+({\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}{f_{i}u}}{\sum \limits _{i=1}^{n}{f_{i}}}})c$

keterangan

1. $f_{i}$ = frekuensi untuk nilai i
2. $x_{i}$ = data ke-i (untuk data tunggal) atau titik tengah rentang tertentu ke-i (data kelompok)
3. $x_{s}$= titik tengah rataan sementara
4. $d_{i}$ = panjang interval antar rentang tertentu pada $x_{i}$ (jika $x_{s}$ maka d adalah nol. Di atasnya bernilai min dan dibawahnya bernilai plus)
5. u = bilangan bulat (jika $x_{s}$ maka u adalah nol. Diatasnya min serta dibawahnya plus)
6. c = panjang interval kelas

• Median

$Me=L_{2}+({\frac {{\frac {n}{2}}-(\sum {f})_{2}}{f_{Me}}})c$

keterangan

1. $L_{2}$ = tepi bawah kelas median
2. n = banyak data
3. $(\sum {f})_{2}$ = jumlah frekuensi sebelum kelas median
4. $f_{Me}$ = frekuensi kelas median
5. c = panjang interval kelas

• Modus

$Mo=L_{o}+({\frac {d_{1}}{d_{1}+d_{2}}})c$

keterangan

1. $L_{o}$ = tepi bawah kelas modus
2. $d_{1}$ = selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sebelum modus
3. $d_{2}$ = selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sesudah modus
4. c = panjang interval kelas

• Kuartil

$Q_{i}=L_{i}+({\frac {{\frac {in}{4}}-(\sum {f})_{i}}{f_{Q_{i}}}})c$

keterangan

1. i = 1, 2 atau 3
2. $L_{i}$ = tepi bawah kelas kuartil ke-i
3. n = banyak data
4. $(\sum {f})_{i}$ = jumlah frekuensi sebelum kelas kuartil ke-i
5. $f_{Q_{i}}$ = frekuensi kelas kuartil ke-i
6. c = panjang interval kelas

• Desil

$D_{i}=L_{i}+({\frac {{\frac {in}{10}}-(\sum {f})_{i}}{f_{D_{i}}}})c$

keterangan

1. i = 1, 2, 3, ....., 9
2. $L_{i}$ = tepi bawah kelas desil ke-i
3. n = banyak data
4. $(\sum {f})_{i}$ = jumlah frekuensi sebelum kelas desil ke-i
5. $f_{Q_{i}}$ = frekuensi kelas desil ke-i
6. c = panjang interval kelas

• Persentil

$P_{i}=L_{i}+({\frac {{\frac {in}{100}}-(\sum {f})_{i}}{f_{P_{i}}}})c$

keterangan

1. i = 1, 2, 3, ....., 99
2. $L_{i}$ = tepi bawah kelas persentil ke-i
3. n = banyak data
4. $(\sum {f})_{i}$ = jumlah frekuensi sebelum kelas persentil ke-i
5. $f_{Q_{i}}$ = frekuensi kelas persentil ke-i
6. c = panjang interval kelas

Jenis-jenis ukuran penyebaran data

• Lima serangkai

$x_{min}$

$Q_{1}$

$Q_{2}$

$Q_{3}$

$x_{max}$

• Rataan dua

$R_{2}={\frac {Q_{1}+Q_{3}}{2}}$

• Rataan tiga

$R_{3}={\frac {Q_{1}+2Q_{2}+Q_{3}}{2}}$

• Jangkauan atau Range

$J=x_{max}-x_{min}$

• Jangkauan kuartil atau Hamparan

$H=Q_{3}-Q_{1}$

• Jangkauan semi kuartil atau Simpangan kuartil

$SK={\frac {Q_{3}-Q_{1}}{2}}$

• Simpangan rata-rata

Data tunggal

$SR={\frac {\sum {|x_{i}-{\bar {x}}|}}{n}}$

Data berkelompok

$SR={\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}{f_{i}|x_{i}-{\bar {x}}|}}{\sum \limits _{i=1}^{n}{f_{i}}}}$

• Ragam atau Varian

Data tunggal

$V={\frac {\sum {|x_{i}-{\bar {x}}|^{2}}}{n}}$

Data berkelompok

$V={\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}{f_{i}|x_{i}-{\bar {x}}|^{2}}}{\sum \limits _{i=1}^{n}{f_{i}}}}$

• Simpangan baku atau deviasi

$SB={\sqrt {V}}$

Data tunggal

$SB={\sqrt {\frac {\sum {|x_{i}-{\bar {x}}|^{2}}}{n}}}$

Data berkelompok

$SB={\sqrt {\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}{f_{i}|x_{i}-{\bar {x}}|^{2}}}{\sum \limits _{i=1}^{n}{f_{i}}}}}$

contoh

1. data penilaian siswa X pada mata pelajaran matematika sebagai berikut: 7, 7,3, 8,1, 6,4, 5,8, 6, 6,5, 7, 7,9, 6,2. tentukan:

• modus
• median
• mean
• kuartil bawah, tengah dan atas
• lima serangkai
• rataan dua
• rataan tiga
• jangkauan
• hamparan
• simpangan kuartil
• simpangan rata-rata
• varian
• simpangan baku

Jawaban

$${\begin{aligned}*Mo&=7{\text{karena ada dua nilai yang muncul}}\\*{\text{urutan data terlebih dulu}}5,8,6,6,2,6,4,6,5,7,7,7,3,7,9,8,1\\Me&={\frac {6,5+7}{2}}=6,75\\*{\bar {x}}={\frac {7+7,3+8,1+6,4+5,8+6+6,5+7+7,9+6,2}{10}}&={\frac {68,2}{10}}=6,82\\*{\text{lihat urutan data median di atas}}\\Q_{1}=6,2,Q_{2}=6,75,Q_{3}=7,3\\*5,8,6,2,6,75,7,3,8,1\\*R_{2}={\frac {6,2+7,3}{2}}&={\frac {13,5}{2}}=6,75\\*R_{3}={\frac {6,2+2(6,75)+7,3}{2}}&={\frac {27}{2}}=13,5\\*J&=8,1-5,8=2,3\\*H&=7,3-6,2=1,1\\*SK&={\frac {1,1}{2}}=0,55\\*SR={\frac {|7-6,82|+|7,3-6,82|+|8,1-6,82|+|6,4-6,82|+|5,8-6,82|+|6-6,82|+|6,5-6,82|+|7-6,82|+|7,9-6,82|+|6,2-6,82|}{10}}&={\frac {1,82+0,52+1,32+0,42+1,02+0,82+0,32+0,22+1,12+0,62}{10}}={\frac {8,2}{10}}=0,82\\*V={\frac {|7-6,82|^{2}+|7,3-6,82|^{2}+|8,1-6,82|^{2}+|6,4-6,82|^{2}+|5,8-6,82|^{2}+|6-6,82|^{2}+|6,5-6,82|^{2}+|7-6,82|^{2}+|7,9-6,82|^{2}+|6,2-6,82|^{2}}{10}}&={\frac {3,31+0,27+1,74+0,18+1,04+0,67+0,1+0,05+1,25+0,38}{10}}={\frac {8,99}{10}}=0,89\\*SB&={\sqrt {0,89}}=0,94\\\end{aligned}}$$

1. data sensus penduduk kecamatan J sebagai berikut:

Data sensus penduduk

Umur	Jumlah
1-6	3
7-12	8
13-18	5
19-24	6
25-30	5
31-36	7
37-42	12
43-48	9
49-54	8
55-60	7
Jumlah	70

tentukan:

• modus
• median
• mean
• kuartil bawah, tengah dan atas
• lima serangkai
• rataan dua
• rataan tiga
• jangkauan
• hamparan
• simpangan kuartil
• simpangan rata-rata
• varian
• simpangan baku

Data sensus penduduk

Umur	Jumlah (f)	u	$f_{i}\cdot u$	d	$f_{i}\cdot d_{i}$	xi	$f_{i}\cdot x_{i}$	$|x_{i}-{\bar {x}}|$	$f_{i}\cdot |x_{i}-{\bar {x}}|$	$|x_{i}-{\bar {x}}|^{2}$	$f_{i}\cdot |x_{i}-{\bar {x}}|^{2}$
1-6	3	-6	-18	-36	-108	3,5	10,5	30,26	90,78	915,66	2.746,98
7-12	8	-5	-40	-30	-240	9,5	76	24,26	194,08	588,54	4.708,32
13-18	5	-4	-20	-24	-120	15,5	77,5	18,26	91,3	333,42	1.667,1
19-24	6	-3	-18	-18	-108	21,5	129	12,26	73,56	150,3	901,8
25-30	5	-2	-10	-12	-60	27,5	137,5	6,26	31,3	39,18	185,9
31-36	7	-1	-7	-6	-42	33,5	234,5	0,26	1,82	0,06	0,42
37-42	12	0	0	0	0	39,5	474	5,74	68,88	32,94	395,28
43-48	9	1	9	6	54	45,5	409,5	11,74	105,66	137,82	1.240,38
49-54	8	2	16	12	96	51,5	412	17,74	141,92	314,7	2.517,6
55-60	7	3	21	18	126	57,5	402,5	23,74	166,18	563,58	3.945,06
Jumlah	70		-67		-402		2.363		965,48		18.318,84

Jawaban

$${\begin{aligned}*Mo=L_{o}+({\frac {d_{1}}{d_{1}+d_{2}}})\cdot c&=36,5+({\frac {12-7}{(12-7)+(12-9)}})\cdot 6=36,5+({\frac {5}{5+3}})\cdot 6=36,5+({\frac {5}{8}})\cdot 6=36,5+{\frac {15}{4}}=40,25\\*Me=L_{2}+({\frac {{\frac {n}{2}}-(\sum {f})_{2}}{f_{Me}}})\cdot c&=36,5+({\frac {{\frac {70}{2}}-34}{12}})\cdot 6=36,5+({\frac {35-34}{12}})\cdot 6=36,5+({\frac {1}{12}})\cdot 6=37\\*;cara1\\:{\bar {x}}={\bar {x_{s}}}+({\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}{(f_{i}\cdot u)}}{\sum \limits _{i=1}^{n}{f_{i}}}})\cdot c&=39,5+{\frac {-67}{70}}\cdot 6=39,5-5,74=33,76\\;cara2\\:{\bar {x}}={\bar {x_{s}}}+{\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}{(f_{i}\cdot d_{i})}}{\sum \limits _{i=1}^{n}{f_{i}}}}&=39,5+{\frac {-402}{70}}=39,5-5,74=33,76\\;cara3\\:{\bar {x}}={\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}{(f_{i}\cdot x_{i})}}{\sum \limits _{i=1}^{n}{f_{i}}}}&={\frac {2.363}{70}}=33,76\\*:Q_{1}=L_{1}+({\frac {{\frac {n}{4}}-(\sum {f})_{1}}{f_{Q_{1}}}})\cdot c&=18,5+({\frac {{\frac {70}{4}}-16}{6}})\cdot 6=18,5+({\frac {17,5-16}{6}})\cdot 6=18,5+1,5=20\\:Q_{2}=Me=37\\:Q_{3}=L_{3}+({\frac {{\frac {3\cdot n}{4}}-(\sum {f})_{3}}{f_{Q_{3}}}})\cdot c&=42,5+({\frac {{\frac {3\cdot 70}{4}}-16}{9}})\cdot 6=42,5+({\frac {52,5-46}{9}})\cdot 6=42,5+4,33=46,83\\*0,5,20,37,46,83,54,5\\*R_{2}={\frac {20+46,83}{2}}&={\frac {66,83}{2}}=33,42\\*R_{3}={\frac {20+2(37)+46,83}{2}}&={\frac {140,83}{2}}=70,42\\*J&=54,5-0,5=54\\*H&=46,83-20=26,83\\*SK&={\frac {26,83}{2}}=13,42\\*SR={\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}{f_{i}\cdot |x_{i}-{\bar {x}}|}}{\sum \limits _{i=1}^{n}{f_{i}}}}&={\frac {965,48}{70}}=13,79\\*V={\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}{f_{i}\cdot |x_{i}-{\bar {x}}|^{2}}}{\sum \limits _{i=1}^{n}{f_{i}}}}&={\frac {18.318,84}{70}}=261,69\\*SR={\sqrt {V}}&={\sqrt {261,69}}=16,17\\\end{aligned}}$$