Turunan atau Derivatif dalam ilmu kalkulus merupakan pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai masukan. Secara umum, turunan menyatakan bagaimana suatu fungsi berubah akibat perubahan variabel; contohnya, turunan dari posisi sebuah benda bergerak terhadap waktu adalah kecepatan sesaat objek tersebut.
f ′ ( x ) = lim h → 0 f ( x + h ) − f ( x ) h {\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}} Biaya marjinal
sunting
lim h → 0 Δ C h = lim h → 0 C ( x + h ) h = C ′ ( x ) {\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {\Delta C}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {C(x+h)}{h}}=C'(x)}
Dalam hal ini, Templat:Math , untuk bilangan riil Templat:Math dan Templat:Math dan kemiringan Templat:Math diberikan oleh
m = mengalih pada y mengalih pada x = Δ y Δ x , {\displaystyle m={\frac {{\text{mengalih pada }}y}{{\text{mengalih pada }}x}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}},} Apa itu simbol Templat:Math adalah singkatan untuk perubahan.
Δ y = f ( x + Δ x ) − f ( x ) {\displaystyle \Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)}
Rumus di atas berlaku karena
y + Δ y = f ( x + Δ x ) = m ( x + Δ x ) + b = m x + m Δ x + b = y + m Δ x . {\displaystyle {\begin{aligned}y+\Delta y&=f\left(x+\Delta x\right)\\&=m\left(x+\Delta x\right)+b=mx+m\Delta x+b\\&=y+m\Delta x.\end{aligned}}} Hasilnya adalah
Δ y = m Δ x . {\displaystyle \Delta y=m\Delta x.} Nilai tersebut memberikan untuk kemiringan garis.
Nilai perubahan sebagai nilai limit
Gambar 1. Garis singgung pada (x , f (x ))
Gambar 2. The
secant to curve
y =
f (
x ) determined by points (
x ,
f (
x )) and
(x + h , f (x + h ))
Gambar 3. Garis singgung sebagai batas garis potong
Gambar 4. Ilustrasi animasi: garis singgung (turunan) sebagai batas garis potong
Sifat - sifat turunan
sunting
Linearitas
d d x ( u ± v ) = u ′ ± v ′ {\displaystyle {\frac {d}{dx}}(u\pm v)=u'\pm v'\,}
d d x ( n u ) = n d u d x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}(nu)=n{\frac {du}{dx}}\,} Aturan produk
d d x ( u v ) = u ′ v + u v ′ {\displaystyle {\frac {d}{dx}}(uv)=u'v+uv'\,} Dalil rantai
d y d x = d y d v ⋅ d v d u ⋅ d u d x {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{dv}}\cdot {\frac {dv}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}\,} Sifat umum lain
d d x ( u v ) = u ′ v − u v ′ v 2 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}({\frac {u}{v}})={\frac {u'v-uv'}{v^{2}}}\,}
d d x ( x n ) = n x n − 1 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}(x^{n})=nx^{n-1}\,}
d d x ( u n ) = n u n − 1 ⋅ d u d x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}(u^{n})=nu^{n-1}\cdot {\frac {du}{dx}}} Dimana fungsi u {\displaystyle u} dan v {\displaystyle v} adalah fungsi satu variabel x {\displaystyle x} .
Eksponen dan bilangan natural
sunting
d d x ( e x ) = e x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}(e^{x})=e^{x}\,}
d d x ( a x ) = a x ln a {\displaystyle {\frac {d}{dx}}(a^{x})=a^{x}\ln {a}\,} Logaritma dan bilangan natural
sunting
d d x ( ln x ) = 1 x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}(\ln {x})={\frac {1}{x}}\,}
d d x ( log a x ) = 1 x ln a {\displaystyle {\frac {d}{dx}}(\log _{a}{x})={\frac {1}{x\ln {a}}}\,}
d d x ( sin x ) = cos x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}(\sin {x})=\cos {x}\,}
d d x ( cos x ) = − sin x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}(\cos {x})=-\sin {x}\,}
d d x ( tan x ) = sec 2 x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}(\tan {x})=\sec ^{2}{x}\,}
d d x ( cot x ) = − csc 2 x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}(\cot {x})=-\csc ^{2}{x}\,}
d d x ( sec x ) = sec x tan x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}(\sec {x})=\sec {x}\tan {x}\,}
d d x ( csc x ) = − csc x cot x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}(\csc {x})=-\csc {x}\cot {x}\,} Invers d d x ( arcsin x ) = 1 1 − x 2 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}(\arcsin x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
d d x ( arccos x ) = − 1 1 − x 2 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}(\arccos x)={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
d d x ( arctan x ) = 1 1 + x 2 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}(\arctan x)={\frac {1}{1+x^{2}}}}
d d x ( arccot x ) = − 1 1 + x 2 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}(\operatorname {arccot} x)={\frac {-1}{1+x^{2}}}}
d d x ( arcsec x ) = 1 x x 2 − 1 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}(\operatorname {arcsec} x)={\frac {1}{x{\sqrt {x^{2}-1}}}}}
d d x ( arccsc x ) = − 1 x x 2 − 1 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}(\operatorname {arccsc} x)={\frac {-1}{x{\sqrt {x^{2}-1}}}}} Hiperbolik d d x ( sinh x ) = cosh x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}(\sinh {x})=\cosh {x}\,}
d d x ( cosh x ) = sinh x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}(\cosh {x})=\sinh {x}\,}
d d x ( tanh x ) = sech 2 x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}(\tanh {x})={\text{sech}}^{2}\,{x}\,}
d d x ( coth x ) = − csch 2 x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}(\coth {x})=-{\text{csch}}^{2}{x}\,}
d d x ( sech x ) = − sech x tanh x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}({\text{sech}}\,{x})=-{\text{sech}}\,{x}\tanh {x}}
d d x ( csch x ) = − csch x coth x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}({\text{csch}}\,{x})=-{\text{csch}}\,{x}\coth {x}} Contoh soal dalam aplikasi turunan
sunting
NB
hasil nilai turunan pada maksimum/terbesar atau minimum/terkecil dianggap nol agar tercapai. Tentukan persamaan garis yang menyinggung kurva y = x 3 + 2 x 2 − 5 x {\displaystyle y=x^{3}+2x^{2}-5x} di titik ( 1 , − 2 ) {\displaystyle (1,-2)} ! y = x 3 + 2 x 2 − 5 x {\displaystyle y=x^{3}+2x^{2}-5x}
m = y ′ = 3 x 2 + 4 x − 5 {\displaystyle m=y'=3x^{2}+4x-5} masukkan x = 1 untuk menentukan nilai m
m = y ′ = 3 ( 1 ) 2 + 4 ( 1 ) − 5 = 2 {\displaystyle m=y'=3(1)^{2}+4(1)-5=2} persamaan garis singgung dengan gradien 2 dan melalui titik (1,-2)
y − y 1 = m ( x − x 1 ) {\displaystyle y-y_{1}=m(x-x_{1})}
y − ( − 2 ) = 2 ( x − 1 ) {\displaystyle y-(-2)=2(x-1)}
y = 2 x − 4 {\displaystyle y=2x-4} Tentukan persamaan garis yang tegak lurus dengan kurva y = x 3 + 2 x 2 − 5 x {\displaystyle y=x^{3}+2x^{2}-5x} di titik ( 1 , − 2 ) {\displaystyle (1,-2)} ! y = x 3 + 2 x 2 − 5 x {\displaystyle y=x^{3}+2x^{2}-5x}
m = y ′ = 3 x 2 + 4 x − 5 {\displaystyle m=y'=3x^{2}+4x-5} masukkan x = 1 untuk menentukan nilai m
m = y ′ = 3 ( 1 ) 2 + 4 ( 1 ) − 5 = 2 {\displaystyle m=y'=3(1)^{2}+4(1)-5=2} karena tegak lurus maka nilai mt
m t = − 1 m {\displaystyle m_{t}=-{\frac {1}{m}}}
m t = − 1 2 {\displaystyle m_{t}=-{\frac {1}{2}}} persamaan garis singgung dengan gradien 2 dan melalui titik (1,-2)
y − y 1 = m t ( x − x 1 ) {\displaystyle y-y_{1}=m_{t}(x-x_{1})}
y − ( − 2 ) = − 1 2 ( x − 1 ) {\displaystyle y-(-2)=-{\frac {1}{2}}(x-1)}
2 ( y + 2 ) = − x + 1 {\displaystyle 2(y+2)=-x+1}
2 y + 4 = − x + 1 {\displaystyle 2y+4=-x+1}
2 y = − x − 3 {\displaystyle 2y=-x-3} Suatu proyek pembangunan gedung sekolah dapat diselesaikan dalam x hari dengan biaya proyek per hari 3 x − 900 + 120 x {\displaystyle 3x-900+{\frac {120}{x}}} ratus ribu rupiah. Berapa hari agar biaya minimum maka proyek tersebut diselesaikan? biaya dalam 1 hari B ( 1 ) = 3 x − 900 + 120 x {\displaystyle B(1)=3x-900+{\frac {120}{x}}}
biaya dalam x hari B ( x ) = x ( 3 x − 900 + 120 x ) {\displaystyle B(x)=x(3x-900+{\frac {120}{x}})}
B ( x ) = 3 x 2 − 900 x + 120 {\displaystyle B(x)=3x^{2}-900x+120} biaya minimum tercapai saat turunannya = 0
B ′ ( x ) = 0 {\displaystyle B'(x)=0}
B ′ ( x ) = 6 x − 900 = 0 {\displaystyle B'(x)=6x-900=0}
6 x = 900 {\displaystyle 6x=900}
x = 150 {\displaystyle x=150} hariSuatu perusahaan menghasilkan x produk dengan biaya total sebesar 75 + 2 x + 0 , 1 x 2 {\displaystyle 75+2x+0,1x^{2}} ribu rupiah. Jika semua produk perusahaan terjual dengan harga Rp40,000 untuk setiap produknya. Berapa laba maksimum yang diperolehnya? laba = total penjualan - total biaya
laba L ( x ) = 40 x − ( 75 + 2 x + 0 , 1 x 2 ) {\displaystyle L(x)=40x-(75+2x+0,1x^{2})}
L ( x ) = − 75 + 38 x − 0 , 1 x 2 {\displaystyle L(x)=-75+38x-0,1x^{2}} laba maksimum tercapai saat turunannya = 0
L ′ ( x ) = 0 {\displaystyle L'(x)=0}
L ′ ( x ) = 38 − 0 , 2 x = 0 {\displaystyle L'(x)=38-0,2x=0}
0 , 2 x = 38 {\displaystyle 0,2x=38}
x = 190 {\displaystyle x=190} L ( 190 ) = − 75 + 38 ( 190 ) − 0 , 1 ( 190 ) 2 {\displaystyle L(190)=-75+38(190)-0,1(190)^{2}}
L ( 190 ) = − 75 + 7 , 220 − 3 , 610 {\displaystyle L(190)=-75+7,220-3,610}
L ( 190 ) = 3 , 535 {\displaystyle L(190)=3,535} ribu rupiahJumlah dari bilangan pertama dan bilangan kedua kuadrat adalah 75. Berapa nilai terbesar dari hasil kali? Misalkan: bilangan pertama = x dan bilangan kedua = y
x + y 2 = 75 {\displaystyle x+y^{2}=75}
x = 75 − y 2 {\displaystyle x=75-y^{2}} hasil kali: f ( y ) = x ⋅ y {\displaystyle f(y)=x\cdot y}
f ( y ) = ( 75 − y 2 ) ⋅ y {\displaystyle f(y)=(75-y^{2})\cdot y}
f ( y ) = 75 y − y 3 {\displaystyle f(y)=75y-y^{3}} nilai terbesar dari hasil kali tercapai saat turunannya = 0
f ′ ( y ) = 0 {\displaystyle f'(y)=0}
f ′ ( y ) = 75 − 3 y 2 = 0 {\displaystyle f'(y)=75-3y^{2}=0}
3 y 2 = 75 {\displaystyle 3y^{2}=75}
y 2 = 25 {\displaystyle y^{2}=25}
y 1 = 5 a t a u y 2 = − 5 {\displaystyle y_{1}=5atauy_{2}=-5} karena nilai terbesar maka terambil y = 5, kita cari x
x = 75 − ( 5 ) 2 {\displaystyle x=75-(5)^{2}}
x = 50 {\displaystyle x=50} nilai terbesar hasil kali: 50 ⋅ 5 = 250 {\displaystyle 50\cdot 5=250}