Subjek:Matematika/Materi:Diferensial

Turunan atau Derivatif dalam ilmu kalkulus merupakan pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai masukan. Secara umum, turunan menyatakan bagaimana suatu fungsi berubah akibat perubahan variabel; contohnya, turunan dari posisi sebuah benda bergerak terhadap waktu adalah kecepatan sesaat objek tersebut.

Definisi

sunting
 

Biaya marjinal

sunting
 

Sifat turunan

sunting

Dalam hal ini, Templat:Math, untuk bilangan riil Templat:Math dan Templat:Math dan kemiringan Templat:Math diberikan oleh

 

Apa itu simbol Templat:Math adalah singkatan untuk perubahan.  

Rumus di atas berlaku karena

 

Hasilnya adalah

 

Nilai tersebut memberikan untuk kemiringan garis.

Nilai perubahan sebagai nilai limit

Gambar 1. Garis singgung pada (x, f(x))
Gambar 2. The secant to curve y= f(x) determined by points (x, f(x)) and (x + h, f(x + h))
Gambar 3. Garis singgung sebagai batas garis potong
Gambar 4. Ilustrasi animasi: garis singgung (turunan) sebagai batas garis potong

Sifat - sifat turunan

sunting

Linearitas

  •  
  •  

Aturan produk

  •  

Dalil rantai

  •  

Sifat umum lain

  •  
  •  
  •  

Dimana fungsi   dan   adalah fungsi satu variabel  .

Eksponen dan bilangan natural

sunting
  •  
  •  

Logaritma dan bilangan natural

sunting
  •  
  •  

Trigonometri

sunting
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
Invers
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
Hiperbolik
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

Contoh soal dalam aplikasi turunan

sunting
NB
hasil nilai turunan pada maksimum/terbesar atau minimum/terkecil dianggap nol agar tercapai.
  • Tentukan persamaan garis yang menyinggung kurva   di titik  !
 
 

masukkan x = 1 untuk menentukan nilai m

 

persamaan garis singgung dengan gradien 2 dan melalui titik (1,-2)

 
 
 
  • Tentukan persamaan garis yang tegak lurus dengan kurva   di titik  !
 
 

masukkan x = 1 untuk menentukan nilai m

 

karena tegak lurus maka nilai mt

 
 

persamaan garis singgung dengan gradien 2 dan melalui titik (1,-2)

 
 
 
 
 
  • Suatu proyek pembangunan gedung sekolah dapat diselesaikan dalam x hari dengan biaya proyek per hari   ratus ribu rupiah. Berapa hari agar biaya minimum maka proyek tersebut diselesaikan?
biaya dalam 1 hari  
biaya dalam x hari  
 

biaya minimum tercapai saat turunannya = 0

 
 
 
  hari
  • Suatu perusahaan menghasilkan x produk dengan biaya total sebesar   ribu rupiah. Jika semua produk perusahaan terjual dengan harga Rp40,000 untuk setiap produknya. Berapa laba maksimum yang diperolehnya?
laba = total penjualan - total biaya
laba  
 

laba maksimum tercapai saat turunannya = 0

 
 
 
 
 
 
  ribu rupiah
  • Jumlah dari bilangan pertama dan bilangan kedua kuadrat adalah 75. Berapa nilai terbesar dari hasil kali?
Misalkan: bilangan pertama = x dan bilangan kedua = y
 
 
hasil kali:  
 
 

nilai terbesar dari hasil kali tercapai saat turunannya = 0

 
 
 
 
 

karena nilai terbesar maka terambil y = 5, kita cari x

 
 
nilai terbesar hasil kali: