Turunan atau Derivatif dalam ilmu kalkulus merupakan pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai masukan. Secara umum, turunan menyatakan bagaimana suatu fungsi berubah akibat perubahan variabel; contohnya, turunan dari posisi sebuah benda bergerak terhadap waktu adalah kecepatan sesaat objek tersebut.
f
′
(
x
)
=
lim
h
→
0
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
h
{\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}
lim
h
→
0
Δ
C
h
=
lim
h
→
0
C
(
x
+
h
)
h
=
C
′
(
x
)
{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {\Delta C}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {C(x+h)}{h}}=C'(x)}
Dalam hal ini, Templat:Math , untuk bilangan riil Templat:Math dan Templat:Math dan kemiringan Templat:Math diberikan oleh
m
=
mengalih pada
y
mengalih pada
x
=
Δ
y
Δ
x
,
{\displaystyle m={\frac {{\text{mengalih pada }}y}{{\text{mengalih pada }}x}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}},}
Apa itu simbol Templat:Math adalah singkatan untuk perubahan.
Δ
y
=
f
(
x
+
Δ
x
)
−
f
(
x
)
{\displaystyle \Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)}
Rumus di atas berlaku karena
y
+
Δ
y
=
f
(
x
+
Δ
x
)
=
m
(
x
+
Δ
x
)
+
b
=
m
x
+
m
Δ
x
+
b
=
y
+
m
Δ
x
.
{\displaystyle {\begin{aligned}y+\Delta y&=f\left(x+\Delta x\right)\\&=m\left(x+\Delta x\right)+b=mx+m\Delta x+b\\&=y+m\Delta x.\end{aligned}}}
Hasilnya adalah
Δ
y
=
m
Δ
x
.
{\displaystyle \Delta y=m\Delta x.}
Nilai tersebut memberikan untuk kemiringan garis.
Nilai perubahan sebagai nilai limit
Gambar 1. Garis singgung pada (x , f (x ))
Gambar 2. The
secant to curve
y =
f (
x ) determined by points (
x ,
f (
x )) and
(x + h , f (x + h ))
Gambar 3. Garis singgung sebagai batas garis potong
Gambar 4. Ilustrasi animasi: garis singgung (turunan) sebagai batas garis potong
Linearitas
d
d
x
(
u
±
v
)
=
u
′
±
v
′
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}(u\pm v)=u'\pm v'\,}
d
d
x
(
n
u
)
=
n
d
u
d
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}(nu)=n{\frac {du}{dx}}\,}
Aturan produk
d
d
x
(
u
v
)
=
u
′
v
+
u
v
′
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}(uv)=u'v+uv'\,}
Dalil rantai
d
y
d
x
=
d
y
d
v
⋅
d
v
d
u
⋅
d
u
d
x
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{dv}}\cdot {\frac {dv}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}\,}
Sifat umum lain
d
d
x
(
u
v
)
=
u
′
v
−
u
v
′
v
2
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}({\frac {u}{v}})={\frac {u'v-uv'}{v^{2}}}\,}
d
d
x
(
x
n
)
=
n
x
n
−
1
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}(x^{n})=nx^{n-1}\,}
d
d
x
(
u
n
)
=
n
u
n
−
1
⋅
d
u
d
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}(u^{n})=nu^{n-1}\cdot {\frac {du}{dx}}}
Dimana fungsi
u
{\displaystyle u}
v
{\displaystyle v}
x
{\displaystyle x}
Eksponen dan bilangan natural
sunting
d
d
x
(
e
x
)
=
e
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}(e^{x})=e^{x}\,}
d
d
x
(
a
x
)
=
a
x
ln
a
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}(a^{x})=a^{x}\ln {a}\,}
Logaritma dan bilangan natural
sunting
d
d
x
(
ln
x
)
=
1
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}(\ln {x})={\frac {1}{x}}\,}
d
d
x
(
log
a
x
)
=
1
x
ln
a
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}(\log _{a}{x})={\frac {1}{x\ln {a}}}\,}
d
d
x
(
sin
x
)
=
cos
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}(\sin {x})=\cos {x}\,}
d
d
x
(
cos
x
)
=
−
sin
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}(\cos {x})=-\sin {x}\,}
d
d
x
(
tan
x
)
=
sec
2
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}(\tan {x})=\sec ^{2}{x}\,}
d
d
x
(
cot
x
)
=
−
csc
2
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}(\cot {x})=-\csc ^{2}{x}\,}
d
d
x
(
sec
x
)
=
sec
x
tan
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}(\sec {x})=\sec {x}\tan {x}\,}
d
d
x
(
csc
x
)
=
−
csc
x
cot
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}(\csc {x})=-\csc {x}\cot {x}\,}
Invers
d
d
x
(
arcsin
x
)
=
1
1
−
x
2
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}(\arcsin x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
d
d
x
(
arccos
x
)
=
−
1
1
−
x
2
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}(\arccos x)={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
d
d
x
(
arctan
x
)
=
1
1
+
x
2
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}(\arctan x)={\frac {1}{1+x^{2}}}}
d
d
x
(
arccot
x
)
=
−
1
1
+
x
2
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}(\operatorname {arccot} x)={\frac {-1}{1+x^{2}}}}
d
d
x
(
arcsec
x
)
=
1
x
x
2
−
1
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}(\operatorname {arcsec} x)={\frac {1}{x{\sqrt {x^{2}-1}}}}}
d
d
x
(
arccsc
x
)
=
−
1
x
x
2
−
1
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}(\operatorname {arccsc} x)={\frac {-1}{x{\sqrt {x^{2}-1}}}}}
Hiperbolik
d
d
x
(
sinh
x
)
=
cosh
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}(\sinh {x})=\cosh {x}\,}
d
d
x
(
cosh
x
)
=
sinh
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}(\cosh {x})=\sinh {x}\,}
d
d
x
(
tanh
x
)
=
sech
2
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}(\tanh {x})={\text{sech}}^{2}\,{x}\,}
d
d
x
(
coth
x
)
=
−
csch
2
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}(\coth {x})=-{\text{csch}}^{2}{x}\,}
d
d
x
(
sech
x
)
=
−
sech
x
tanh
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}({\text{sech}}\,{x})=-{\text{sech}}\,{x}\tanh {x}}
d
d
x
(
csch
x
)
=
−
csch
x
coth
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}({\text{csch}}\,{x})=-{\text{csch}}\,{x}\coth {x}}
Contoh soal dalam aplikasi turunan
sunting
NB
hasil nilai turunan pada maksimum/terbesar atau minimum/terkecil dianggap nol agar tercapai. Tentukan persamaan garis yang menyinggung kurva
y
=
x
3
+
2
x
2
−
5
x
{\displaystyle y=x^{3}+2x^{2}-5x}
(
1
,
−
2
)
{\displaystyle (1,-2)}
y
=
x
3
+
2
x
2
−
5
x
{\displaystyle y=x^{3}+2x^{2}-5x}
m
=
y
′
=
3
x
2
+
4
x
−
5
{\displaystyle m=y'=3x^{2}+4x-5}
masukkan x = 1 untuk menentukan nilai m
m
=
y
′
=
3
(
1
)
2
+
4
(
1
)
−
5
=
2
{\displaystyle m=y'=3(1)^{2}+4(1)-5=2}
persamaan garis singgung dengan gradien 2 dan melalui titik (1,-2)
y
−
y
1
=
m
(
x
−
x
1
)
{\displaystyle y-y_{1}=m(x-x_{1})}
y
−
(
−
2
)
=
2
(
x
−
1
)
{\displaystyle y-(-2)=2(x-1)}
y
=
2
x
−
4
{\displaystyle y=2x-4}
Tentukan persamaan garis yang tegak lurus dengan kurva
y
=
x
3
+
2
x
2
−
5
x
{\displaystyle y=x^{3}+2x^{2}-5x}
(
1
,
−
2
)
{\displaystyle (1,-2)}
y
=
x
3
+
2
x
2
−
5
x
{\displaystyle y=x^{3}+2x^{2}-5x}
m
=
y
′
=
3
x
2
+
4
x
−
5
{\displaystyle m=y'=3x^{2}+4x-5}
masukkan x = 1 untuk menentukan nilai m
m
=
y
′
=
3
(
1
)
2
+
4
(
1
)
−
5
=
2
{\displaystyle m=y'=3(1)^{2}+4(1)-5=2}
karena tegak lurus maka nilai mt
m
t
=
−
1
m
{\displaystyle m_{t}=-{\frac {1}{m}}}
m
t
=
−
1
2
{\displaystyle m_{t}=-{\frac {1}{2}}}
persamaan garis singgung dengan gradien 2 dan melalui titik (1,-2)
y
−
y
1
=
m
t
(
x
−
x
1
)
{\displaystyle y-y_{1}=m_{t}(x-x_{1})}
y
−
(
−
2
)
=
−
1
2
(
x
−
1
)
{\displaystyle y-(-2)=-{\frac {1}{2}}(x-1)}
2
(
y
+
2
)
=
−
x
+
1
{\displaystyle 2(y+2)=-x+1}
2
y
+
4
=
−
x
+
1
{\displaystyle 2y+4=-x+1}
2
y
=
−
x
−
3
{\displaystyle 2y=-x-3}
Suatu proyek pembangunan gedung sekolah dapat diselesaikan dalam x hari dengan biaya proyek per hari
3
x
−
900
+
120
x
{\displaystyle 3x-900+{\frac {120}{x}}}
biaya dalam 1 hari
B
(
1
)
=
3
x
−
900
+
120
x
{\displaystyle B(1)=3x-900+{\frac {120}{x}}}
biaya dalam x hari
B
(
x
)
=
x
(
3
x
−
900
+
120
x
)
{\displaystyle B(x)=x(3x-900+{\frac {120}{x}})}
B
(
x
)
=
3
x
2
−
900
x
+
120
{\displaystyle B(x)=3x^{2}-900x+120}
biaya minimum tercapai saat turunannya = 0
B
′
(
x
)
=
0
{\displaystyle B'(x)=0}
B
′
(
x
)
=
6
x
−
900
=
0
{\displaystyle B'(x)=6x-900=0}
6
x
=
900
{\displaystyle 6x=900}
x
=
150
{\displaystyle x=150}
Suatu perusahaan menghasilkan x produk dengan biaya total sebesar
75
+
2
x
+
0
,
1
x
2
{\displaystyle 75+2x+0,1x^{2}}
laba = total penjualan - total biaya
laba
L
(
x
)
=
40
x
−
(
75
+
2
x
+
0
,
1
x
2
)
{\displaystyle L(x)=40x-(75+2x+0,1x^{2})}
L
(
x
)
=
−
75
+
38
x
−
0
,
1
x
2
{\displaystyle L(x)=-75+38x-0,1x^{2}}
laba maksimum tercapai saat turunannya = 0
L
′
(
x
)
=
0
{\displaystyle L'(x)=0}
L
′
(
x
)
=
38
−
0
,
2
x
=
0
{\displaystyle L'(x)=38-0,2x=0}
0
,
2
x
=
38
{\displaystyle 0,2x=38}
x
=
190
{\displaystyle x=190}
L
(
190
)
=
−
75
+
38
(
190
)
−
0
,
1
(
190
)
2
{\displaystyle L(190)=-75+38(190)-0,1(190)^{2}}
L
(
190
)
=
−
75
+
7
,
220
−
3
,
610
{\displaystyle L(190)=-75+7,220-3,610}
L
(
190
)
=
3
,
535
{\displaystyle L(190)=3,535}
Jumlah dari bilangan pertama dan bilangan kedua kuadrat adalah 75. Berapa nilai terbesar dari hasil kali? Misalkan: bilangan pertama = x dan bilangan kedua = y
x
+
y
2
=
75
{\displaystyle x+y^{2}=75}
x
=
75
−
y
2
{\displaystyle x=75-y^{2}}
hasil kali:
f
(
y
)
=
x
⋅
y
{\displaystyle f(y)=x\cdot y}
f
(
y
)
=
(
75
−
y
2
)
⋅
y
{\displaystyle f(y)=(75-y^{2})\cdot y}
f
(
y
)
=
75
y
−
y
3
{\displaystyle f(y)=75y-y^{3}}
nilai terbesar dari hasil kali tercapai saat turunannya = 0
f
′
(
y
)
=
0
{\displaystyle f'(y)=0}
f
′
(
y
)
=
75
−
3
y
2
=
0
{\displaystyle f'(y)=75-3y^{2}=0}
3
y
2
=
75
{\displaystyle 3y^{2}=75}
y
2
=
25
{\displaystyle y^{2}=25}
y
1
=
5
a
t
a
u
y
2
=
−
5
{\displaystyle y_{1}=5atauy_{2}=-5}
karena nilai terbesar maka terambil y = 5, kita cari x
x
=
75
−
(
5
)
2
{\displaystyle x=75-(5)^{2}}
x
=
50
{\displaystyle x=50}
nilai terbesar hasil kali:
50
⋅
5
=
250
{\displaystyle 50\cdot 5=250}
