Matriks adalah sekumpulan bilangan yang disusun secara baris dan kolom dan ditempatkan pada kurung biasa atau kurung siku.
Penulisan matriks:
(
2
3
1
4
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}2&3\\1&4\end{pmatrix}}}
atau
[
2
3
1
4
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}2&3\\1&4\end{bmatrix}}}
Ordo suatu matriks adalah bilangan yang menunjukkan banyaknya baris (m) dan banyaknya kolom (n).
(
2
3
5
1
4
−
7
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}2&3&5\\1&4&-7\end{pmatrix}}}
Matriks identitas (I)adalah matriks yang nilai-nilai elemen pada diagonal utama selalu 1.
I
=
(
1
0
0
0
1
0
0
0
1
)
{\displaystyle I={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}
t )Matriks transpose adalah matriks yang mengalami pertukaran elemen dari baris menjadi kolom dan sebaliknya. Contoh:
A
=
(
2
3
5
1
4
−
7
)
{\displaystyle A={\begin{pmatrix}2&3&5\\1&4&-7\end{pmatrix}}}
maka matriks transposenya (At ) adalah
A
t
=
(
2
1
3
4
5
−
7
)
{\displaystyle A^{t}={\begin{pmatrix}2&1\\3&4\\5&-7\end{pmatrix}}}
Operasi perhitungan pada matriks
Kesamaan 2 matriks
2 matriks dikatakan sama jika ordonya sama dan elemen yang seletak sama.
Contoh:
(
2
3
5
1
4
−
7
)
=
(
2
6
x
z
−
y
2
y
+
2
4
−
7
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}2&3&5\\1&4&-7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&6x&z-y\\2y+2&4&-7\end{pmatrix}}}
Tentukan nilai 2x-y+5z!
Jawab:
6
x
=
3
{\displaystyle 6x=3}
x
=
1
2
{\displaystyle x={\frac {1}{2}}}
2
y
+
2
=
1
{\displaystyle 2y+2=1}
y
=
−
1
2
{\displaystyle y=-{\frac {1}{2}}}
z
−
y
=
5
{\displaystyle z-y=5}
z
=
9
2
{\displaystyle z={\frac {9}{2}}}
2
x
−
y
+
5
z
{\displaystyle 2x-y+5z}
=
2
(
1
2
)
−
1
2
+
5
(
9
2
)
{\displaystyle =2\left({\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{2}}+5\left({\frac {9}{2}}\right)}
=
23
{\displaystyle =23}
Penjumlahan matriks
2 matriks bisa dijumlahkan jika ordonya sama dan penjumlahan dilakukan dengan cara menjumlahkan elemen yang seletak.
Contoh:
(
2
3
5
1
4
−
7
)
+
(
2
6
x
z
−
y
2
y
+
2
4
−
7
)
=
(
4
3
+
6
x
5
+
z
−
y
2
y
+
3
8
−
14
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}2&3&5\\1&4&-7\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}2&6x&z-y\\2y+2&4&-7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4&3+6x&5+z-y\\2y+3&8&-14\end{pmatrix}}}
Pengurangan matriks
2 matriks bisa dikurangkan jika ordonya sama dan pengurangan dilakukan dengan cara mengurangkan dari elemen yang seletak.
Contoh:
(
2
3
5
1
4
−
7
)
−
(
2
6
x
z
−
y
2
y
+
2
4
−
7
)
=
(
0
3
−
6
x
5
−
z
−
y
−
2
y
−
1
0
0
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}2&3&5\\1&4&-7\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}2&6x&z-y\\2y+2&4&-7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&3-6x&5-z-y\\-2y-1&0&0\end{pmatrix}}}
Perkalian bilangan dengan matriks
Contoh:
3
(
2
6
x
z
−
y
2
y
+
2
4
−
7
)
=
(
6
18
x
3
z
−
3
y
6
y
+
6
12
−
21
)
{\displaystyle 3{\begin{pmatrix}2&6x&z-y\\2y+2&4&-7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}6&18x&3z-3y\\6y+6&12&-21\end{pmatrix}}}
Perkalian matriks
2 Matriks dapat dikalikan jika jumlah baris matriks A = jumlah kolom matriks B.
Penghitungan perkalian matriks:
Misalkan:
A
=
(
a
b
c
d
)
{\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}
B
=
(
p
q
r
s
)
{\displaystyle B={\begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix}}}
maka
A
×
B
=
(
a
p
+
b
r
a
q
+
b
s
c
p
+
d
r
c
q
+
d
s
)
{\displaystyle A\times B={\begin{pmatrix}ap+br&aq+bs\\cp+dr&cq+ds\end{pmatrix}}}
Contoh:
(
2
6
3
4
)
(
9
8
2
10
)
=
(
30
76
35
64
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}2&6\\3&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}9&8\\2&10\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}30&76\\35&64\end{pmatrix}}}
Determinan suatu matriks
Matriks ordo 2x2
Misalkan:
A
=
(
a
b
c
d
)
{\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}
maka Determinan A (ditulis
|
A
|
{\displaystyle \left\vert A\right\vert }
|
A
|
=
a
×
d
−
b
×
c
{\displaystyle \left\vert A\right\vert =a\times d-b\times c}
Matriks ordo 3x3
Cara Sarrus
Misalkan:
Jika
A
=
(
a
b
c
d
e
f
g
h
i
)
{\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}}
|
A
|
{\displaystyle \left\vert A\right\vert }
|
A
|
=
|
a
b
c
d
e
f
g
h
i
|
a
b
d
e
g
h
{\displaystyle \left\vert A\right\vert =\left\vert {\begin{matrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{matrix}}\right\vert {\begin{matrix}a&b\\d&e\\g&h\end{matrix}}}
Penghitungan matriks dilakukan dengan cara menambahkan elemen dari kiri atas ke kanan bawah (mulai dari a → e → i, b → f → g, dan c → d → h) lalu dikurangi dengan elemen dari kanan atas ke kiri bawah (mulai dari c → e → g, a → f → h, dan b → d → i) sehingga menjadi:
|
A
|
=
a
.
e
.
i
+
b
.
f
.
g
+
c
.
d
.
h
−
g
.
e
.
c
−
h
.
f
.
a
−
i
.
d
.
b
{\displaystyle \left\vert A\right\vert =a.e.i+b.f.g+c.d.h-g.e.c-h.f.a-i.d.b}
Contoh:
A
=
(
−
2
0
1
3
2
−
1
1
−
3
5
)
{\displaystyle A={\begin{pmatrix}-2&0&1\\3&2&-1\\1&-3&5\end{pmatrix}}}
|
A
|
{\displaystyle \left\vert A\right\vert }
|
A
|
=
|
−
2
0
1
3
2
−
1
1
−
3
5
|
−
2
0
3
2
1
−
3
{\displaystyle \left\vert A\right\vert =\left\vert {\begin{matrix}-2&0&1\\3&2&-1\\1&-3&5\end{matrix}}\right\vert {\begin{matrix}-2&0\\3&2\\1&-3\end{matrix}}}
|
A
|
=
(
−
2.2.5
)
+
(
0.
−
1.
−
1
)
+
(
1.3.
−
3
)
−
(
1.2.1
)
−
(
−
2.
−
1.
−
3
)
−
(
0.3.5
)
=
−
20
+
0
−
9
−
2
+
6
−
0
=
−
25
{\displaystyle \left\vert A\right\vert =(-2.2.5)+(0.-1.-1)+(1.3.-3)-(1.2.1)-(-2.-1.-3)-(0.3.5)=-20+0-9-2+6-0=-25}
Cara ekspansi baris-kolom
Misalkan:
Jika
P
=
(
−
2
0
1
3
2
−
1
1
−
3
5
)
{\displaystyle P={\begin{pmatrix}-2&0&1\\3&2&-1\\1&-3&5\end{pmatrix}}}
|
P
|
{\displaystyle \left\vert P\right\vert }
|
P
|
=
−
2
|
2
−
1
−
3
5
|
−
0
|
3
−
1
1
5
|
+
1
|
3
2
1
−
3
|
{\displaystyle \left\vert P\right\vert =-2\left\vert {\begin{matrix}2&-1\\-3&5\end{matrix}}\right\vert -0\left\vert {\begin{matrix}3&-1\\1&5\end{matrix}}\right\vert +1\left\vert {\begin{matrix}3&2\\1&-3\end{matrix}}\right\vert }
|
P
|
=
−
2
(
10
−
3
)
−
0
+
1
(
−
9
−
2
)
=
−
25
{\displaystyle \left\vert P\right\vert =-2(10-3)-0+1(-9-2)=-25}
Matriks Singular
Matriks singular adalah matriks yang nilai determinannya 0.
Contoh:
P
=
(
−
4
5
x
−
x
20
)
{\displaystyle P={\begin{pmatrix}-4&5x\\-x&20\end{pmatrix}}}
Jika A matriks singular, tentukan nilai x!
Jawab:
−
80
+
5
x
2
=
0
{\displaystyle -80+5x^{2}=0}
5
(
x
2
−
16
)
=
0
{\displaystyle 5(x^{2}-16)=0}
x
=
−
4
{\displaystyle x=-4}
x
=
4
{\displaystyle x=4}
Invers matriks 
