Kalkulus/Aljabar: Perbedaan antara revisi

168 bita ditambahkan ,  1 tahun yang lalu
obs tag
kTidak ada ringkasan suntingan
(obs tag)
 
 
Maka, kita memiliki beberapa notasi interval berikut ini:
{| class="wikitable" style="margin:auto;"
<center>
{| class="wikitable"
! Kondisi
! Notasi pertidaksamaan
| 2 dan 4 termasuk dalam penyelesaian
| semua ''x'' yang memenuhi <math> 2 \leq x \leq 4 </math>
| <div class="center"> <math> [2,4] \,\! </math> </centerdiv>
|-
| 2 dan 4 tidak termasuk dalam penyelesaian
| semua ''x'' yang memenuhi <math> 2<x<4 \, </math>
| <div class="center"> <math> (2,4) \,\! </math> </centerdiv>
|-
| 2 termasuk tapi 4 tidak termasuk dalam penyelesaian
| semua ''x'' yang memenuhi <math> 2 \leq x < 4 </math>
| <div class="center"> <math> [2,4) \,\! </math> </centerdiv>
|-
| 2 tidak termasuk tapi 4 termasuk dalam penyelesaian
| semua ''x'' yang memenuhi <math> 2 < x \leq 4 </math>
| <div class="center"> <math> (2,4] \,\! </math> </centerdiv>
|}
</center>
 
Secara umum, kita memiliki tabel berikut ini:
{| class="wikitable" style="margin:auto;"
<center>
{| class="wikitable"
!Arti
!Notasi interval
|-
|}
</center>
 
Perlu dicatat bahwa <math>\infty</math> dan <math>-\infty</math> harus selalu memakai kurung biasa (bukan kurung siku) karena <math>\infty</math> bukan angka dan dengan begitu tidak termasuk dalam himpunan. <math>\infty</math> hanyalah sebuah simbol yang tujuannya hanya untuk memudahkan penulisan.
== Eksponen dan radikal ==
Ada beberapa aturan dalam eksponen dan radikal yang harus selalu anda ingat. Sebagai definisinya, jika '''n''' merupakan angka bulat positif maka <math> a^n </math> menyatakan ''n'' faktor dari ''a''. Maka:
<div class="center"> <math> a^n = a\cdot a \cdot a \cdots a \qquad (n~ \mbox{kali}). </math> </centerdiv>
 
Jika <math> a \not= 0</math> maka kita dapat mengatakan bahwa <math>a^0 =1 \, </math>.
 
Berikut ini adalah beberapa aturan dalam eksponen:
{| class="wikitable" style="margin:auto;"
<center>
{| class="wikitable"
! Aturan
! Contoh
| <math> \bigg(\frac{7}{3}\bigg)^3 = \frac{7^3}{3^3}. </math>
|}
</center>
 
== Faktor dan akar faktor ==
Jika kita mempunyai pernyataan <math> x^2 + 3x + 2 </math>, maka mungkin muncul pertanyaan "berapa nilai ''x'' yang membuat pernyataan ini bernilai nol?". Jika kita memfaktorkannya maka kita akan mendapatkan:
<div class="center"><math> x^2 + 3x + 2 = (x + 2)(x + 1). \,\! </math></centerdiv>
 
Jika ''x''=-1 atau -2, maka salah satu factor di sebelah kanan akan menjadi nol. Maka, nilai pernyataan tersebut pasti akan menjadi nol juga. Maka, dengan memfaktorkan kita dapat menemukan nilai ''x'' yang menjadikan penyataan tersebut bernilai nol. Nilai -1 dan -2 inilah yang disebut dengan "akar faktor". Secara umum, jika ada suatu polinomial kuadrat <math> px^2 + qx + r </math> dengan faktor-faktornya
<div class="center"><math> px^2 + qx + r = (ax + c)(bx + d) \,\!</math></centerdiv>
 
Maka kita mempunyai nilai ''x=-c/a'' dan ''x=-d/b'' sebagai akar-akar polinomial.
 
Ada kasus khusus pada polinomial <math> a^2 - b^2</math>. Pada pernyataan ini, kita dapat memfaktorkannya sebagai <div class="center"><math> a^2 - b^2 = (a+b)(a-b). \,\!</math></centerdiv>
 
Sebagai contoh, <math> 4x^2 - 9 </math>. Kalau kita lihat, keduanya mempunyai akar kuadrat <math>(2x)^2 = 4x^2 </math> and <math> 3^2 = 9 </math>). Maka, dengan mengaplikasikan aturan diatas, kita dapat memfaktorkannya menjadi:
<div class="center"><math> 4x^2 - 9 = (2x+3)(2x-3). \,\!</math></centerdiv>
 
'''Rumus abc'''<br />
== Menyederhanakan pernyataan rasional ==
Anggaplah ada 2 polinomial:
<div class="center"><math>p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 </math></centerdiv> dan
<div class="center"><math> q(x) = b_m x^m + b_{m-1}x^{m-1} + \cdots + b_1x + b_0. </math></centerdiv>
 
Jika kita ingin membagi polinomial p(x) dengan q(x) maka akan menjadi:
<div class="center"><math>\frac{p(x)}{q(x)} = \frac{a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0}{b_m x^m + b_{m-1}x^{m-1} + \cdots + b_1x + b_0}. </math></centerdiv>
 
Rasio dari 2 polinomial tersebut disebut dengan '''ekspresi rasional'''. Banyak di antaranya kita dapat menyederhanakannya, seperti misalnya <math>\frac{x^2-1}{x+1}. </math>. Kita dapat menyederhanakannya menjadi:
<div class="center"><math>\frac{x^2-1}{x+1} = \frac{(x+1)(x-1)}{x+1} = x-1, \qquad x \neq -1 \,\!</math></centerdiv>
 
== Beberapa rumus perkalian polinomial ==
Berikut ini adalah beberapa rumus perkalian polinomial yang (mungkin) harus anda ketahui untuk menyelesaikan polinomial:
 
<div class="center"><math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2</math></centerdiv>
<div class="center"><math>(a-b)^2=a^2-2ab+b^2</math></centerdiv>
<div class="center"><math>(a-b)(a+b)=a^2-b^2</math></centerdiv>
<div class="center"><math>(a\pm b)^3=a^3\pm 3a^2b+3ab^2\pm b^3</math></centerdiv>
<div class="center"><math>a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)</math></centerdiv>
 
== Pembagian polinomial ==
102

suntingan