Kalkulus/Aljabar

Aturan aritmatika dan aljabarSunting

Aturan-aturan berikut ini benar untuk semua a, b, dan c, dimana a, b, dan c merupakan angka, variabel, fungsi, atau persamaan lain yang lebih kompleks yang didalamnya terdapat angka, variabel, dan/atau fungsi.

PenjumlahanSunting

  • Sifat komutatif:  .
  • Sifat asosiatif:  .
  • Identitas penjumlahan:  .
  • Invers penjumlahan:  .

PenguranganSunting

  • Definisi:  .

PerkalianSunting

  • Sifat komutatif:  .
  • Sifat asosiatif:  .
  • Identitas perkalian:  .
  • Invers perkalian:  ,  
  • Sifat distributif:  .

PembagianSunting

  • Definisi:  ,  .

Coba lihat contoh dibawah ini untuk melihat bagaimana aturan-aturan diatas dipraktikkan.

  =   (dari definisi pembagian)
=   (dari sifat asosiatif perkalian)
=   (dari sifat invers perkalian)
=   (dari identitas perkalian)

Tentu saja, cara diatas jauh lebih panjang daripada hanya mencoret   dari pembilang dan penyebut. Tapi, dengan mencoret, sebenarnya kamu juga melakukan tahapan diatas, hanya saja lebih dipersingkat. Dengan tahapan diatas, diharapkan kamu benar-benar memahami aturan-aturan yang ada.

Notasi intervalSunting

Ada beberapa sedikit perbedaan simbol yang dapat digunakan untuk menyatakan suatu interval (semua angka yang berada di antara 2 angka) spesifik tertentu. Salah satu caranya adalah dengan menggunakan pertidaksamaan. Jika kita ingin menyatakan semua angka yang berada di antara, katakan, 2 dan 4, maka kita dapat menuliskannya "semua x yang memenuhi 2<x<4". Tanda ini menunjukkan bahwa titik 2 dan 4 tidak termasuk karena kita menggunakan tanda  . Jika kita ingin memasukkan titik 2 dan 4 juga, maka kita menuliskannya dengan "semua x yang memenuhi  ".

Cara lain yang dapat digunakan untuk menuliskan interval ini adalah dengan menggunakan notasi interval. Jika kita ingin menuliskan "semua x yang memenuhi 2<x<4" maka kita dapat menuliskannya dengan (2,4). Dengan notasi ini, titik 2 dan 4 tidak termasuk dalam interval. Jika kita mau memasukkan titik 2 dan 4 juga, maka penulisannya menjadi [2,4]. Jika kita hanya ingin memasukkan titik 2 saja tanpa titik 4 ke dalam interval, maka penulisannya menjadi [2,4); jika hanya titik 4 saja tanpa titik 2, penulisannya menjadi (2,4].

Maka, kita memiliki beberapa notasi interval berikut ini:

Kondisi Notasi pertidaksamaan Notasi interval
2 dan 4 termasuk dalam penyelesaian semua x yang memenuhi  
 
2 dan 4 tidak termasuk dalam penyelesaian semua x yang memenuhi  
 
2 termasuk tapi 4 tidak termasuk dalam penyelesaian semua x yang memenuhi  
 
2 tidak termasuk tapi 4 termasuk dalam penyelesaian semua x yang memenuhi  
 

Secara umum, kita memiliki tabel berikut ini:

Arti Notasi interval Notasi set
Semua bilangan yang lebih besar atau sama dengan   dan lebih kecil atau sama dengan      
Semua bilangan yang lebih besar dari   dan lebih kecil dari      
Semua bilangan yang lebih besar atau sama dengan   dan lebih kecil dari      
Semua bilangan yang lebih besar dari   dan lebih kecil atau sama dengan      
Semua bilangan yang lebih besar atau sama dengan  .    
Semua bilangan yang lebih besar dari  .    
Semua bilangan yang lebih kecil atau sama dengan  .    
Semua bilangan yang lebih kecil dari  .    
Semua bilangan memenuhi    

Perlu dicatat bahwa   dan   harus selalu memakai kurung biasa (bukan kurung siku) karena   bukan angka dan dengan begitu tidak termasuk dalam himpunan.   hanyalah sebuah simbol yang tujuannya hanya untuk memudahkan penulisan.

Interval dengan kurung biasa (a,b) disebut interval terbuka, dan interval dengan kurung siku [a,b] disebut interval tertutup.

Kita dapat menggunakan lambang   untuk menunjukkan apakah sebuah elemen termasuk di dalam interval. Contohnya,  . Sedangkan, simbol   digunakan apabila sebuah elemen tidak termasuk dalam interval. Sebagai contoh  .

Eksponen dan radikalSunting

Ada beberapa aturan dalam eksponen dan radikal yang harus selalu anda ingat. Sebagai definisinya, jika n merupakan angka bulat positif maka   menyatakan n faktor dari a. Maka:

 

Jika   maka kita dapat mengatakan bahwa  .

Jika n merupakan bilangan bulat positif maka kita dapat menyatakan  

Jika kita mempunyai eksponen yang berupa bilangan pecahan maka kita dapat menyatakannya sebagai  

Berikut ini adalah beberapa aturan dalam eksponen:

Aturan Contoh
   
   
   
   
   

Faktor dan akar faktorSunting

Jika kita mempunyai pernyataan  , maka mungkin muncul pertanyaan "berapa nilai x yang membuat pernyataan ini bernilai nol?". Jika kita memfaktorkannya maka kita akan mendapatkan:

 

Jika x=-1 atau -2, maka salah satu factor di sebelah kanan akan menjadi nol. Maka, nilai pernyataan tersebut pasti akan menjadi nol juga. Maka, dengan memfaktorkan kita dapat menemukan nilai x yang menjadikan penyataan tersebut bernilai nol. Nilai -1 dan -2 inilah yang disebut dengan "akar faktor". Secara umum, jika ada suatu polinomial kuadrat   dengan faktor-faktornya

 

Maka kita mempunyai nilai x=-c/a dan x=-d/b sebagai akar-akar polinomial.

Ada kasus khusus pada polinomial  . Pada pernyataan ini, kita dapat memfaktorkannya sebagai

 

Sebagai contoh,  . Kalau kita lihat, keduanya mempunyai akar kuadrat   and  ). Maka, dengan mengaplikasikan aturan diatas, kita dapat memfaktorkannya menjadi:

 

Rumus abc
Akar-akar dari persamaan kuadrat   dapat dicari dengan rumus ABC, yaitu:
 .

Contoh Carilah akar-akar dari persamaan kuadrat  

Jawaban: Dengan menggunakan rumus abc: , maka:
 

 

 

 

 

 

Menyederhanakan pernyataan rasionalSunting

Anggaplah ada 2 polinomial:

 

dan

 

Jika kita ingin membagi polinomial p(x) dengan q(x) maka akan menjadi:

 

Rasio dari 2 polinomial tersebut disebut dengan ekspresi rasional. Banyak di antaranya kita dapat menyederhanakannya, seperti misalnya  . Kita dapat menyederhanakannya menjadi:

 

Beberapa rumus perkalian polinomialSunting

Berikut ini adalah beberapa rumus perkalian polinomial yang (mungkin) harus anda ketahui untuk menyelesaikan polinomial:

 
 
 
 
 

Pembagian polinomialSunting

Jika kita ingin membagi polinomial satu dengan polinomial lainnya, maka kita dapat menggunakan pembagian bersusun.

Contoh Bagilah   dengan  !

Jawaban: