Kalkulus/Fungsi

Mengerti dan memahami fungsi

Untuk memahami apa itu fungsi, anggaplah fungsi layaknya sebuah mesin. Jika anda memasukkan bahan mentah ke dalam mesin tersebut, maka mesin tersebut akan mengubah bahan mentah menjadi suatu produk jadi berdasarkan instruksi-instruksi tertentu yang telah ditentukan. Maka, akan ada sebuah system input-output, dimana jika kita memasukkan sebuah input pada fungsi tersebut, maka fungsi akan memberikan outputnya. Sebagai contoh, fungsi pangkat 2 yang kita masukkan angka 4 maka nilai output/keluarannya adalah 16.

Suatu fungsi biasa dilambangkan dengan $f$, $g$, atau beberapa variabel lainnya – pelambangan ini tidak mutlak.

Contoh, fungsi $f(x)=3x+2\$ menjelaskan pada kita bahwa:

• Fungsi $f$ adalah fungsi dari $x$
• Untuk menghitung nilai fungsi pada angka tertentu, maka ganti $x$ dengan angka tersebut.
• $f$ sendiri didefinisikan sebagai, "pada suatu angka tertentu, $f$ akan menghasilkan dua lebihnya dari tiga kali angka tersebut."

Sebagai contoh, jika kita memasukkan angka 3 dalam fungsi f:

$f(x)=3x+2\$

$f(3)=3(3)+2\$ Kita menghitung fungsi saat $x=3$.

$f(3)=9+2=11\$ Maka nilai dari $f\$ pada x=3 adalah 11.

Uji garis vertikal

Uji garis vertikal, seperti yang telah disebutkan diatas, adalah uji yang digunakan untuk mengetahui sebuah pernyataan dapat tergolong fungsi atau bukan (dengan x sebagai variabel independen dan y sebagai variabel dependen). Gambar persamaannya kemudian tarik garis vertikal dari setiap titik pada sumbu-$x$. Jika ada satu garis lurus menyentuh grafik persamaan lebih dari satu titik, maka persamaan tersebut bukanlah fungsi. Jika semua garis menyentuh grafik di satu titik saja, maka persamaan tersebut merupakan fungsi.

Persamaan lingkaran bukanlah fungsi karena tidak memenuhi kriteria uji garis vertikal.

Fungsi-fungsi penting

Fungsi konstan	$f(x)=c\,$ Berapapun nilai x yang dimasukkan, hasil keluaran selalu berupa konstanta $c$, dan merupakan polinomial dengan derajat nol dengan f(x) = cx0= c(1) = c. Grafiknya berupa garis horizontal/vertikal.
Fungsi linear	$f(x)=mx+c\,$ Merupakan polinomial derajat satu dengan grafik berupa garis lurus miring (kecuali jika $m=0$).
Fungsi identitas	$f(x)=x\,$ Berapapun nilai x yang dimasukkan, hasilnya tidak berubah. Termasuk polinomial derajat satu, f(x) = x1 = x. Kasus khusus dari fungsi linear.
Fungsi kuadrat	$f(x)=ax^{2}+bx+c\,$ Polinomial derajat dua. Grafiknya berupa parabola, meskipun $a=0$.
Fungsi polinomial	$f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$ Bilangan $n$ merupakan derajat polinomial.
Fungsi sepotong-sepotong	$\operatorname {sgn} (x)=\left\{{\begin{matrix}-1&:&x<0\\0&:&x=0\\1&:&x>0.\end{matrix}}\right.$ Digunakan untuk menentukan fungsi apa yang akan digunakan, tergantung dari nilai $x$ yang dimasukkan.

Memanipulasi fungsi

Fungsi dapat dimanipulasi seperti variabel: dapat ditambahkan, dikalikan, dikurangkan, dll. Sebagai contoh, misalkan:

$f(x)=3x+2\,$ dan

$g(x)=x^{2}\,$.

Maka

${\begin{aligned}f+g&=(f+g)(x)\\&=f(x)+g(x)\\&=(3x+2)+(x^{2})\\&=x^{2}+3x+2\,\end{aligned}}$,

${\begin{aligned}f-g&=(f-g)(x)\\&=f(x)-g(x)\\&=(3x+2)-(x^{2})\\&=-x^{2}+3x+2\,\end{aligned}}$,

${\begin{aligned}f\times g&=(f\times g)(x)\\&=f(x)\times g(x)\\&=(3x+2)\times (x^{2})\\&=3x^{3}+2x^{2}\,\end{aligned}}$,

${\begin{aligned}{\frac {f}{g}}&=\left({\frac {f}{g}}\right)(x)\\&={\frac {f(x)}{g(x)}}\\&={\frac {3x+2}{x^{2}}}\\&={\frac {3}{x}}+{\frac {2}{x^{2}}}\end{aligned}}$.

Komposisi fungsi

Ada satu cara untuk menggabungkan fungsi yang tidak bisa dilakukan oleh variabel biasa. Nilai dari sebuah fungsi $f$ tergantung dari besar nilai $x$, meski begitu, variabel ini dimasukkan lagi ke dalam fungsi lain $g$, sehingga nilai g tergantung dari variabel ketiga. Jika ini kasusnya, maka variabel pertama adalah fungsi $h$ dari variabel ketiga. Fungsi ($h$) disebut sebagai komposisi dari 2 fungsi lainnya ($f$ dan $g$). Komposisi fungsi mempunyai tanda:

$f\circ g=(f\circ g)(x)=f(g(x))$.

Dibaca "f dari g dari x."

Contoh

$f(x)=3x+2\,$ dan

$g(x)=x^{2}\,$.

Maka

${\begin{aligned}h(x)&=f(g(x))\\&=f(x^{2})\\&=3(x^{2})+2\\&=3x^{2}+2\,\end{aligned}}$.

Disini, $h$ merupakan komposisi dari $f$ dan $g$ dan kita menuliskannya dengan tanda $h=f\circ g$. Perhatikan bahwa komposisi tidak bersifat komutatif:

$f(g(x))=3x^{2}+2\,$, dan

${\begin{aligned}g(f(x))&=g(3x+2)\\&=(3x+2)^{2}\\&=9x^{2}+12x+4\,\end{aligned}}$

maka $f(g(x))\neq g(f(x))\,$.

Komposisi fungsi merupakan seseatu yang umum, karena fungsi sendiri juga bersifat umum. Sebagai contoh, kuadrat dan trigonometri juga termasuk fungsi:

$\operatorname {square} (x)=x^{2}$,

$\sin(x)=\sin x$

Maka, pernyataan $\sin ^{2}x$ juga termasuk komposisi fungsi:

$\sin ^{2}x$

= $\operatorname {square} (\sin x)$

(Perhatikan bahwa hal ini tidak sama: $\sin(\operatorname {square} (x))=\sin x^{2}$.)

Transformasi

Transformasi adalah salah satu cara memanipulasi fungsi yang paling umum. Transformasi fungsi terdiri dari mengalikan, membagi, menambahkan, atau mengurangkan konstanta pada input atau output. Menambahkan sebuah konstanta pada fungsi disebut dengan translasi dan mengalikan fungsi dengan konstanta disebut dengan dilatasi. Berikut ini adalah beberapa contohnya:

$f(2\times x)\,$ Dilatasi

$f(x+2)\,$ Translasi

$2\times f(x)\,$ Dilatasi

$2+f(x)\,$ Translasi

Contoh translasi vertikal dan horizontal

Contoh dilatasi horizontal dan vertikal

Translasi dan dilatasi dapat dilakukan secara horizontal maupun vertical. Contoh dari penggunaannya dapat dilihat dari grafik di samping. Grafik berwarna merah menunjukkan fungsi asli, grafik berwarna biru menunjukkan grafik yang ditranslasi (dipindahkan) secara horizontal, dan grafik berwarna hijau menunjukkan grafik yang ditranslasi secara vertikal.

Proses transformasi dilatasi juga dapat ditunjukkan dengan cara yang mirip. Fungsi

$f(2\times x)\,$

akan mempunyai hasil input yang dilipatduakan. Maka, fungsi ini pun akan menghasilkan transformasi dilatasi dengan faktor pengali $1/2$ karena jarak ke sumbu-y telah dibagi dua. Bentuk dilatasi vertikal, seperti

$2\times f(x)\,$

akan menghasilkan fungsi yang "naik" dari fungsi aslinya, karena anda mengalikan hasil fungsi yang ada. Hasil fungsi sama dengan jarak dari sumbu-x, maka dengan begitu, fungsi hasil akan transformasi akan lebih "di atas" dari fungsi aslinya. Berikut ini merupakan beberapa contoh dimana a merupakan sebuah kontanta positif:

Fungsi awal/asli	$f(x)\,$	Fungsi dirotasi	$-f(-x)\,$
Translasi horizontal sebanyak $a$ unit ke kiri	$f(x+a)\,$	Translasi horizontal sebanyak $a$ unit ke kanan	$f(x-a)\,$
Dilatasi horizontal dengan faktor pengali $a$	$f(x\times {\frac {1}{a}})\,$	Dilatasi vertikal dengan faktor pengali $a$	$a\times f(x)\,$
Translasi vertikal sebanyak $a$ unit ke bawah	$f(x)-a\,$	Translasi vertikal sebanyak $a$ unit ke atas	$f(x)+a\,$
Direfleksikan dengan sumbu-$x$	$-f(x)\,$	Direfleksikan dengan sumbu-$y$	$f(-x)\,$